Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 32
Encontre os valores máximo e mínimo absoluto de na região .
é o triangulo fechado com vértices e
Passo 1
Oie, vamos de resolução hoje.
Aqui a gente tem a função:
Neste exercício, precisamos encontrar e classificar os pontos críticos da função.
Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua em um conjunto fechado e limitado :
1. Determine os valores de nos pontos críticos de em .
2. Determine os valores extremos de na fronteira de .
3. O maior dos valores dos passos e é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial
Em relação a :
E em relação a :
que nos dá o único ponto crítico , substituindo o ponto crítico na função, temos:
Passo 3
Agora iremos avaliar os valores na fronteira de .
Chamaremos de a linha que liga os pontos a . Nessa linha o valor de é zero.
Chamaremos de a linha que liga os pontos a . Nessa linha o valor de é zero.
Chamaremos de a linha que liga os pontos a . Nessa linha o valor de é zero.
Então vamos analisar primeiro :
E
Existe então um crescimento da função de em para .
Existe um valor mínimo em e um valor máximo em
Passo 4
Agora para :
Temos um crescimento da função em em a .
O valor mínimo é e o valor máximo é .
Já para :
Essa linha é representada pela função e podemos substituir em :
Substituindo:
Realizando a distributiva:
Temos então uma função quadrática, onde os máximos e mínimos ocorrem nos vértices:
E substituindo na função:
Analisando todos os valores que encontramos percebemos que temos como menor o e o maior como .
Resposta
O máximo absoluto é em e o mínimo absoluto em , os quais possuem imagem