Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 9
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Essa questão nos pede para encontrar os pontos críticos dessa função de duas variáveis, e a partir desses pontos, descobrir quais desses pontos são pontos de máximo, mínimo ou pontos de sela.
No cálculo de uma variável, descobrimos um ponto crítico de uma função ao tomar sua primeira derivada de modo que
Calculada essa expressão e encontrados os pontos críticos, tomamos a segunda derivada da função avaliada no ponto crítico para descobrirmos se é um ponto de máximo ou de mínimo
Para uma função de mais de uma variável, temos testes análogos para obter os pontos críticos.
Dessa vez, no entanto, devemos levar em consideração as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos
Porém, diferente do caso de uma variável, o teste para se obter máximos, mínimos e pontos de sela é realizado a partir do determinante de uma matriz chamada matriz hessiana
Sendo .
A partir do cálculo dessa determinante com as derivadas avaliadas em um ponto crítico , temos que
é um ponto de mínimo local;
é um ponto de máximo local;
Se , então é um ponto de sela.
Realizaremos esse teste para avaliar quais os pontos críticos da função.
Primeiro calcularemos suas derivadas parciais para obter os pontos críticos.
Em seguida calcular as derivadas segundas para calcular o determinante e descobrir quais os pontos de máximo, mínimo e de sela.
Passo 2
A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!
Nesse problema, nossa função é
Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:
Os pontos críticos são obtidos fazendo . Assim,
Daqui tiramos duas soluções possíveis: ou ou . A segunda equação é
Usando , a equação vira
Já para , a equação vira
Portanto, os pontos crítico de são
Passo 3
Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:
Assim, o determinante hessiano será
Logo,
O termo que vai controlar o sinal de é
Passo 4
Para , temos que . Olhando para , vemos que se trata de um máximo local.
Já para , obtemos enquanto , de modo que é um mínimo local.
Para , encontramos . Trata-se de um ponto de sela.
Por fim, para , também encontramos .