Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 6
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:
Queremos determinar os valores de máximos e mínimos locais.
Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação à e e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.
Em seguida, iremos fazer as segundas derivadas parciais e aplicar na seguinte expressão (chamada de teste da segunda derivada):
Com isso, a gente analisa as seguintes proposições:
- Se e , então é um mínimo local;
- Se e , então é um máximo local;
- Se , não é nem máximo e nem mínimo local.
Em relação ao gráfico, iremos utilizar o Desmos 3D para plotarmos o gráfico dessa função.
Passo 2
Vamos começar encontrando as derivadas parciais:
Aqui derivando em relação a e considerando todas as outras como constantes:
Aqui derivando em relação a e considerando todas as outras como constantes:
Agora a gente vai encontrar os pontos críticos:
E
implica em e substituindo em , temos
Assim, o único ponto crítico seria .
As segundas derivadas parciais são:
e
Então,
Como, , temos que é um ponto de sela.
Passo 3
Utilizando o Desmos 3D podemos ver o que encontramos:
Veja o ponto como o ponto azul no gráfico.
Resposta
O único ponto crítico é .
é um ponto de sela.