Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.

r(t) = ⟨ t^2 + 1, t^3, t^2 - 1 ⟩

Passo 1

Primeiramente, vamos relembrar o que é cada uma dessas definições.

Dado uma função r ( t ) , função posição, a velocidade é a primeira derivada desta função. Logo,

v t = r ' ( t )

Já a velocidade escalar é nada mais nada menos que a norma do vetor velocidade! Por fim, a aceleração é a primeira derivada da velocidade, e consequentemente, a segunda derivada da função posição:

a t = r ' ' ( t )

Portanto, precisamos partir para derivar a nossa função!

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular a velocidade da nossa partícula. Para isto, basta derivar cada uma das coordenadas separadamente. Logo,

v t = r ' ( t )

v t = ⟨ 2 t , 3 t 2 , 2 t ⟩

Observem que uma coordenada não influencia na outra!

Passo 3

Para calcularmos a velocidade escalar da partícula, precisamos calcular a norma do vetor aceleração. Portanto, podemos assumir um sistema de coordenada ortogonal e tirar a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada uma das coordenadas! Logo,

v t = 2 t 2 + 3 t 2 2 + 2 t 2

v t = 8 t 2 + 9 t 4

Passo 4

Por fim, vamos calcular a aceleração da nossa partícula. Para isto, basta derivarmos a função velocidade. Logo,

a t = v ' t

a t = ⟨ 2,6 t , 2 ⟩

Resposta

Velocidade:

v t = ⟨ 2 t , 3 t 2 , 2 t ⟩

Velocidade escalar:

v t = 8 t 2 + 9 t 4

Aceleração:

a t = ⟨ 2,6 t , 2 ⟩

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