Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 8
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
8.
Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo e as retas e .
Passo 1
Fala, gente bonita!
Olha só, a questão nos deu essa integral e quer que a gente resolva ela em coordenadas polares. Além disso, nos deu informações sobre a região R que devemos calcular.
Algumas fórmulas para coordenadas polares que precisamos saber antes de começar a resolver tudo!
Inicialmente, precisamos descobrir os limites de integração dessa região.
A questão diz que é do primeiro quadrante, definido por .
Logo, pela fórmula, temos nosso raio .
Também nos diz o seguinte.
Vamos definir isso melhor como polar?
Também,
Encontramos nossos limites de integração, belê?
Passo 2
Agora vamos olhar pra função da nossa integral e colocá-la como coordenada polar também!
Arrumando, ficaremos com
Passo 3
Agora que descrevemos a região em coordenadas polares, podemos colocar os limites de integração na nossa integral. Portanto,
Vamos resolver nossa integral interna:
Vamos colocar nossa função trigonométrica pra fora da integral, pra calcular o .
Agora, resolveremos a integral de fora:
Ou melhor: