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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 8

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

8.

∬ R 2 x - y d A

Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 4 e as retas x = 0 e y = x .

Passo 1

Fala, gente bonita!

Olha só, a questão nos deu essa integral e quer que a gente resolva ela em coordenadas polares. Além disso, nos deu informações sobre a região R que devemos calcular.

Algumas fórmulas para coordenadas polares que precisamos saber antes de começar a resolver tudo!

x = r c o s θ y = r s e n θ x 2 + y 2 = r 2 d A = r d r d θ

Inicialmente, precisamos descobrir os limites de integração dessa região.

A questão diz que é do primeiro quadrante, definido por x 2 + y 2 = 4 .

Logo, pela fórmula, temos nosso raio r = 2 .

Também nos diz o seguinte.

x = 0

Vamos definir isso melhor como polar?

x = r c o s θ

0 = 2 c o s θ

c o s θ = 0 → θ = π 2

Também,

y = x

r s e n θ = r c o s θ

s e n θ c o s θ = 1

t g θ = 1 → θ = π 4

Encontramos nossos limites de integração, belê?

Passo 2

Agora vamos olhar pra função da nossa integral e colocá-la como coordenada polar também!

∬ R 2 x - y d A

∬ R 2 r cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ d A

∬ R 2 r   c o s   θ - r  sen ⁡ θ r d r d θ

Arrumando, ficaremos com

∬ R r 2 2 c o s   θ - sen ⁡ θ d r d θ

Passo 3

Agora que descrevemos a região em coordenadas polares, podemos colocar os limites de integração na nossa integral. Portanto,

∫ π / 4 π / 2 ∫ 0 2 r 2 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ d r d θ

Vamos resolver nossa integral interna:

∫ 0 2 r 2 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ d r

Vamos colocar nossa função trigonométrica pra fora da integral, pra calcular o r d r .

2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ ∫ 0 2 r 2 d r

2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ ⋅ r 3 3 0 2

= 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ ⋅ 2 3 3 - 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ ⋅ 0 3 3

= 8 3 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ

Agora, resolveremos a integral de fora:

∫ π 4 π 2 8 3 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ d θ

8 3 ∫ π 4 π 2 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ d θ

8 3 2 sen ⁡ θ + cos ⁡ θ π 4 π 2

Ou melhor:

16   s e n   θ + 8 cos ⁡ θ 3 π 4 π 2

16   s e n π 2   + 8 cos ⁡ π 2 3 - 16   s e n π 4   + 8 cos ⁡ π 4 3

16 ⋅ 1   + 8 ⋅ 0 3 - 16 ⋅ 2 2   + 8 ⋅ 2 2 3

= 16 3 - 4 2  

Resposta

∬ R 2 x - y d A = 16 3 - 4 2  

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Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D x yd A , onde D é o disco com centro na origem e raio 3 .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2d A , onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 .
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ π 2 π ∫ 4 7 rd r d θ
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ rd rd θ