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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 46

Sejam u → = A B → e v → = A C → vetores não-nulos, de normas p e q , respectivamente. Prove que o vetor w → = q u → + p v → é paralelo à bissetriz de B Â C .

Passo 1

Queremos mostrar que w → = q u → + p v → é paralelo à bissetriz do ângulo B Â C . Para isso, basta provar que o ângulo entre u → e w → é igual ao ângulo entre v → e w → . Para isso, usamos a fórmula do cosseno:

cos ⁡ θ 1 = u → ⋅ w → u → w →

Aqui, θ 1 é o ângulo entre u → e w → . Já entre v → e w → , temos θ 2 :

cos ⁡ θ 2 = v → ⋅ w → v → w →

Pelo enunciado, temos que:

p = u →             e               q = v →

Passo 2

Abrindo os produtos escalares:

cos ⁡ θ 1 = u → ⋅ ( q u → + p v → ) p w → = 1 w → q p   u → ⋅ u → + u → ⋅ v → = 1 w → q p   p 2 + u → ⋅ v → = 1 w → q p + u → ⋅ v →

Analogamente:

cos ⁡ θ 2 = v → ⋅ ( q u → + p v → ) q w → = 1 w → p q   v → ⋅ v → + u → ⋅ v → = 1 w → p q   q 2 + u → ⋅ v → = 1 w → q p + u → ⋅ v →

Passo 3

Note que as expressões que encontramos são iguais:

cos ⁡ θ 1 = cos ⁡ θ 2 ⇒ θ 1 = θ 2

Portanto, vemos que w → divide o ângulo B Â C em partes iguais. Provamos o que o exercício pedia!

Resposta

Demonstração.

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