Sejam e vetores não-nulos, de normas e , respectivamente. Prove que o vetor é paralelo à bissetriz de .
Passo 1
Queremos mostrar que é paralelo à bissetriz do ângulo . Para isso, basta provar que o ângulo entre e é igual ao ângulo entre e . Para isso, usamos a fórmula do cosseno:
Aqui, é o ângulo entre e . Já entre e , temos :
Pelo enunciado, temos que:
Passo 2
Abrindo os produtos escalares:
Analogamente:
Passo 3
Note que as expressões que encontramos são iguais:
Portanto, vemos que divide o ângulo em partes iguais. Provamos o que o exercício pedia!
Resposta
Demonstração.