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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 41

Encontre r t se r ' t = 2 t   i + 3 t 2 j + t   k e r 1 = i + j .

Passo 1

Olá, meu caro amigo. Estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Temos então que:

r ' t = 2 t   i + 3 t 2 j + t   k

E que:

r 1 = i + j

E queremos encontrar qual a equação de:

r t

A função vetorial r ( t ) é primitiva da função r ' ( t ) . Assim, temos

r t = ∫ r ' t d t

Passo 2

Então deveremos resolver a seguinte integral:

r t = ∫ ( 2 t   i + 3 t 2 j + t   k   ) d t

Separando a integral por termos obtemos:

r t = ∫ 2 t   d t i + ∫ 3 t 2 d t j + ( ∫ t 1 2   d t )   k

Realizando cada integral:

∫ 2 t î d t = 2 2 t 2 î

E

∫ 3 t 2 j ^ d t = 3 3 t 3 j ^

E por último:

∫ t 1 2 k ^ d t = 2 3 t 3 2

Juntando tudo:

r t = t 2 i + t 3 j + 2 3 t 3 2   k + C

OBS: C é um vetor contante

Passo 3

No passo anterior obtemos uma forma geral para r ( t ) dentro da qual existe um vetor C constante desconhecido. Contudo, foi dada uma outra informação no enunciado:

r 1 = i + j

Com essa informação poderemos obter o valor de C . Temos

r 1 = i + j + 2 3 k + C = i + j

Portanto, concluímos que

2 3 k + C = 0

C = - 2 3 k

Passo 4

Substituindo o valor de C obtido no Passo 2 , dentro da equação de r ( t ) , obtemos:

r t = t 2 i + t 3 j + 2 3 t 3 2   k - 2 3 k

r t = t 2 i + t 3 j + 2 3 t 3 2 - 2 3 k

Resposta

r t = t 2 i + t 3 j + 2 3 t 3 2 - 2 3 k

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Calcule a integral. ∫ 0 π / 2 3s e n 2 t cos ⁡ ti + 3s e nt cos 2 ⁡ t j + 2s e nt cos ⁡ tk d t
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Mostre que se r é uma função vetorial tal que exista r ' ' , então d d t r t × r ' ( t ) = r t × r ' ' ( t )
45. Se u t = ( s e nt , cos ⁡ t ,t ) e v t = ( t , cos ⁡ t ,s e nt ) , use a Fórmula 4 do Teorema 3 para encontrar d d t [ u t ⋅ v t ]