Enunciado

Mostre que se r é uma função vetorial tal que exista r ' ' , então

d d t r t × r ' ( t ) = r t × r ' ' ( t )

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que demonstremos a seguinte expressão:

d d t r t × r ' ( t ) = r t × r ' ' ( t )

Onde r é uma função vetorial tal que exista a segunda derivada r ' ' .

Para isso, precisaremos utilizar a Fórmula 5 do Teorema 3 (regra do produto vetorial), que é dada por:

d d t u t × v t = u ' t × v t + u t × v ' t

Onde u e v são funções vetoriais diferenciáveis.

Passo 2

Aplicando a fórmula mostrada no passo 1, temos:

d d t r t × r ' ( t ) = r ' t × r ' t + r t × r ' ' ( t )

Contudo, do Exemplo 2 da seção 12.4, também sabemos que o produto vetorial de vetores iguais é nulo. Ou seja:

r ' ( t ) × r ' t = 0

Desta forma, temos

d d t r t × r ' t = 0 + r t × r ' ' t ∴

d d t r t × r ' ( t ) = r t × r ' ' ( t )

Resposta

Demonstração

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Se u e v são as funções vetoriais do Exercício 45, use a Fórmula 5 do Teorema 3 para encontrar d d t [ u t × v t ]
Se r t ≠ 0 , mostre que d d t r t = 1 r t r t ⋅ r ' ( t ) [Sugestão: r t 2 = r t ⋅ r ( t ) ] .
Determine a derivada da função vetorial. r t = t a × ( b + t c )
Calcule a integral. ∫ 1 4 t i ^ + t e - t j ^ + 1 t 2 k ^ d t
Determine r ( t ) se r ' t = t 2 i ^ + 4 t 3 j ^ - t 2 k ^ e r 0 = j ^ .