Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 47
Mostre que se é uma função vetorial tal que exista , então
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que demonstremos a seguinte expressão:
Onde é uma função vetorial tal que exista a segunda derivada .
Para isso, precisaremos utilizar a Fórmula 5 do Teorema 3 (regra do produto vetorial), que é dada por:
Onde e são funções vetoriais diferenciáveis.
Passo 2
Aplicando a fórmula mostrada no passo 1, temos:
Contudo, do Exemplo 2 da seção 12.4, também sabemos que o produto vetorial de vetores iguais é nulo. Ou seja:
Desta forma, temos
Resposta
Demonstração
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Se u e v são as funções vetoriais do Exercício 45, use a Fórmula 5 do Teorema 3 para encontrar d d t [ u t × v t ]
Se r t ≠ 0 , mostre que d d t r t = 1 r t r t ⋅ r ' ( t ) [Sugestão: r t 2 = r t ⋅ r ( t ) ] .
Determine a derivada da função vetorial. r t = t a × ( b + t c )
Calcule a integral. ∫ 1 4 t i ^ + t e - t j ^ + 1 t 2 k ^ d t
Determine r ( t ) se r ' t = t 2 i ^ + 4 t 3 j ^ - t 2 k ^ e r 0 = j ^ .