45. Se u t = ( s e nt , cos ⁡ t ,t ) e v t = ( t , cos ⁡ t ,s e nt ) , use a Fórmula 4 do Teorema 3 para encontrar d d t [ u t ⋅ v t ]

d d t u t ⋅ v t = 2 t cos ⁡ t + 2s e nt - 2 s e nt cos ⁡ t

Enunciado

A Fórmula 4 do Teorema 3 nos diz que:

Então, vamos primeiro achar depois achar e, por fim, somar os termos.

Como a questão quer que encontremos esse termo dadas as funções vetoriais, temos que primeiro escrevê-las em sua forma vetorial.

Em seguida, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a individualmente.

Obtidas as derivadas vamos substituir os resultados na expressão dada acima e calcular os produtos escalares presentes nessa soma.

Inicialmente vamos verificar como são escritas as funções vetoriais

Verificadas como são escritas as funções vetoriais, podemos calcular suas derivadas da seguinte forma

Utilizando isso, podemos calcular as derivadas das funções vetoriasi vistas no último passo

Em um procedimento análogo para ,

Encontradas as derivadas, podemos calcular os produtos escalares da expressão individualmente

De modo análogo para o outro termo

Juntando os termos encontrados, podemos substituí-los na expressão que a questão nos apresenta

Com o que achamos no Passo 4:

Portanto,