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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 43

Demonstre a fórmula 1 do Teorema 3.

(d)/(d t) [u (t) + v (t)] = u^' (t) + v ' ( t )

Passo 1

Tomaremos

u (t) = [ u_1 (t) , u_2 (t) , u_3 (t) ]

v (t) = [ v_1 (t) , v_2 (t) , v_3 (t) ]

Da propriedade de soma de vetores temos

u (t) + v (t) = [ u_1 (t) + v_1 (t) , u_2 (t) + v_2 (t) , u_3 (t) + v_3 (t) ]

Dessa forma, aplicando o Teorema 2, temos

(d)/(d t) [u (t) + v (t)] = (d)/(d t) [ u_1 (t) + v_1 (t) , u_2 (t) + v_2 (t) , u_3 (t) + v_3 (t) ]

= {(d)/(d t) [u_1 (t) + v_1 (t)] , (d)/(d t) [u_2 (t) + v_2 (t)] , (d)/(d t) [u_3 (t) + v_3 (t)]}

Passo 2

Partindo do resultado anterior e aplicando as regras usuais de derivada da soma, obtemos:

(d)/(d t) [u (t) + v (t)] = {[u_1 ' (t) + v_1 ' (t)] , [u_2 ' (t) + v_2 ' (t)] , [u_3 ' (t) + v_3 ' (t)]}

Passo 3

Partindo do resultando anterior, aplicando as propriedades de soma de vetores, obtemos:

(d)/(d t) [u (t) + v (t)] = [u_1 ' ( t ) , u_2 (t)^' , u_3 (t)^'] + [ v_1 ' (t) , v_2 ' (t) , v_3 ' (t) ]

Por fim, do Teorema 2, chegamos a:

(d)/(d t) [u (t) + v (t)] = u^' (t) + v ' ( t )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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