Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.

r(t) = 4 * raiz(t) * i + t^2 * j + t * k, t = 1

Passo 1

Olá, meu querido aluno. Temos então a seguinte curva:

r t = 4 t   i + t 2 �� j + t   k

E queremos encontrar o vetor tangente unitário T t .

O vetor tangente unitário de uma função vetorial é dado por

T t = r ' t r ' t

Por isso, devemos determinar o módulo e valor do vetor tangente no ponto t = 1 .

Assim, primeiramente, vamos determinar o vetor tangente r ' t derivando o vetor original r t = 4 t   i + t 2   j + t   k .

Depois iremos encontrar r ' 1 .

Após isso, nos falta apenas encontrar o modulo do vetor r ' t e encontrar r ' 1 , pois estamos trabalhando no ponto t = 1 , então depois de encontrar todos esses pontos basta jogar tudo na fórmula, depois é só correr para o abraço.

Passo 2

Derivando a curva:

r t = 4 t   i + t 2   j + t   k

Derivamos então cada termos da parametrização da curva:

r ' t = d d t 4 t ,   d d t t 2 ,   d d t t

r ' t = ( 2 t ,   2 t ,   1 )

Para t = 1 , temos

r ' 1 = ( 2 ,   2 ,   1 )

Agora que já determinamos o valor do vetor tangente no ponto dado, podemos calcular seu módulo nesse mesmo ponto.

r ' t = 2 t 2 + 2 t 2 + 1 2    

r ' 1 = 2 2 + 2 2 + 1 2

r ' 1 = 3

Passo 3

Por fim, só falta substituir os valores calculados na fórmula do vetor tangente unitário T(t):

T 1 = 1 r ' 1 ⋅ r ' ( 1 )

Substituindo tudo que encontramos:

T 1 = 1 3 ⋅ ( 2 ,   2 ,   1 )

Realizando a multiplicação:

T 1 = 2 3 , 2 3 , 1 3

Resposta

T 1 = 2 3 , 2 3 , 1 3

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