Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções sejam diferenciáveis.

18-

w = f x , y , z ,       o n d e         x = x t , u ,     y = y t , u ,       z = z ( t , u )

Passo 1

E aí, pessoal. Tudo certo?

Nessa questão nós temos a função w = f ( x , y , z ) onde x = x t , u ,     y = y t , u ,       z = z t , u , ou seja, nós temos uma função de três variáveis e essas variáveis dependem de outras duas variáveis.

Parece complexo, né?

Podemos visualizar isso pelo seguinte grafo:

Se quisermos calcular derivadas de w com relação a t e u , precisaremos da regra da cadeia.

Para uma variável, se temos uma função f ( x ) , onde x = x ( t ) , a derivada de f com relação a t é:

d f x d t = d f d x ⋅ d x d t

Como isso funcionaria no caso da nossa questão? Vamos supor que queremos calcular a derivada de w com relação a t .

Veja bem, a função w depende de t   por meio das suas três variáveis ( x , y , z ) , então podemos aplicar o que fizemos para o exemplo de uma variável e somar todas essas parcelas.

Vamos ver como isso é feito agora.

Passo 2

Calculando ∂ w / ∂ t :

Podemos pensar que estamos derivando “de cima para baixo” no grafo. Olha só:

Aí pegamos essas derivadas e somamos, ou seja,

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ t

Passo 3

De forma análoga, fazemos para encontrar a derivada ∂ w / ∂ u :

Portanto:

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ u

Resposta

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ t

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ u

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Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.z = x^2 + x * y^3 x = u * v^2 + w^3 y = u + v * e^w ∂z/∂u; ∂z/∂v; ∂z/∂w Quando u = 2; v = 1; w = 0
Use a Regra da Cadeia para encontrar a derivada parcial indicada.T = v / (2u + v) u = p * q * raiz(r) v = p * raiz(q) * r ∂T/∂p; ∂T/∂q; ∂T/∂r Quando:p = 2; q = 1; r = 4
Utilize a Regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.R = ln(u^2 + v^2 + w^2) u = x + 2y, v = 2x - y, w = 2xy ∂R/∂x, ∂R/∂y Quando x = y = 1 .
Utilize a Regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.M = x * e^(y - z^2) x = 2uv, y = u - v, z = u + v ∂M/∂u; ∂M/∂v Quando u = 3, v = -1
Utilize a Regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.u = x^2 + y * z x = p * r * cos(θ), y = p * r * sen(θ), z = p + r ∂u/∂p; ∂u/∂r; ∂u/∂θ