Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 14
- Determine uma função tal que e
- Use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
: ,
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo certo?
Nossa questão tem duas partes: a primeira pede para acharmos uma função tal que . Para isso precisamos integrar nossa derivada parcial em da componente:
Essa integral nos dará uma função constante , e para encontrar seu valor vamos derivar nossa função potencial que acabamos de encontrar pela integral, em relação a :
E teremos a derivada dessa função constante que estamos procurando, que é . Para encontrarmos o valor dela, fazemos:
Agora que encontramos a derivada , ainda vamos precisar encontrar a função original , e para isso basta resolvermos:
Daí substituímos essa função constante, e teremos enfim nossa função tal que .
A parte b) pede para usarmos a parte a) para calcular
Sobre : ,
Para isso usaremos o Teorema que diz: seja uma curva dada pela função vetorial , , então:
Ou seja, a única coisa que precisamos fazer é aplicar nossos limites do parâmetro no nosso vetor parametrizado e calcular as diferenças desses valores.
Nesse caso o enunciado já nos deu a parametrização da curva :
E os limites:
Bora resolver isso!
Passo 2
Oi galera, tudo bem? Pra mostrar que aquela integral independe do caminho precisamos saber se o campo vetorial é conservativo.
Mas como? Calma que eu explico!
Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se é:
Então:
Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:
Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:
E também:
Provamos que:
E, portanto, nosso campo é sim conservativo! Beleza! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!
E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.
Passo 3
Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo e integrar em relação à :
Isso vai nos dar a função potencial mais uma constante só de , digamos (pois derivando em relação à ela desaparece, sacou?). Então, o resultado da nossa integral é:
Pronto! Essa é a função potencial!
Tá, mas e aquela função de ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!
Passo 4
Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à :
Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo a componente do campo dado:
E agora vamos igualar as duas equações!
Então:
Daí tiramos que:
Beleza! Agora integrando em relação à determinamos a função
Onde é uma constante qualquer.
Agora sim! Juntando com o resultado do passo temos a função potencial completa:
Passo 5
Agora podemos finalmente calcular nossa parte b).
Então precisamos calcular nossos extremos do intervalo de no vetor :
Então:
E:
Nossa função nós conseguimos na parte a) e como a constante pode assumir qualquer valor constante, fazemos .
Vamos então definir nossa função nos pontos e :
E:
Portanto:
Então: