- Determine uma função tal que e
- Use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
: ,
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo certo?
Temos um campo :
E esse campo é dado pelo gradiente de uma função :
Lembra do operador gradiente? Ele é calculado pelas derivadas parciais da função:
Portanto:
Ou saindo dessa notação vetorial:
Hmmmmmm ficou menos confuso agora ne?
Bom, se as componentes de são as derivadas de , então pra achar faz sentido a gente integrar? Faz sim, você não está louca!
Vamos integrar em pra achar um candidato pra função potencial , mas depois pra garantir que não perdemos nenhum termo (tem perda de termos constantes na derivação), a gente deriva em e vê se bate com o termo .
Confuso? Na prática vai ficar melhor.
Na parte b) queremos calcular:
Sobre : ,
Neste ponto, já teremos a função potencial .
E aí o negócio que nos salva é o seguinte: se esse campo for um campo conservativo, então ele tem uma propriedade que diz que essa integral de linha só depente dos pontos inicial e final da curva:
Em que é a curva dada pela função vetorial , , então:
Ou seja, a única coisa que precisamos fazer é aplicar nossos limites do parâmetro no nosso vetor parametrizado , depois calcular pra cada ponto e as diferenças desses valores.
Bora resolver isso!
Passo 2
Vamos começar provando que o campo vetorial é conservativo.
Mas como? Calma que eu explico!
Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se é:
Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:
No nosso campo, temos:
Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:
E também:
Provamos que:
E, portanto, nosso campo é sim conservativo! Beleza! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!
E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.
Passo 3
Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo e integrar em relação à :
Vamos aplicar uma substituição:
Esses resultados já são mais conhecidinhos, então vamos pro resultado:
Essa constante aparece porque na derivação parcial, as outras variáveis ficam constantes. Então quando derivamos em , perdemos os termos que são funções apenas de . Então aí precisamos adicionar uma possível função de .
Então, o resultado da nossa integral é:
Passo 4
Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à :
Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo a componente do campo dado:
E agora vamos igualar as duas equações!
Então:
Daí tiramos que:
Beleza! Agora integrando em relação à determinamos a função
Onde é uma constante qualquer.
Agora sim! Juntando com o resultado do passo temos a função potencial completa:
Passo 5
Agora podemos finalmente calcular nossa parte b).
Então precisamos calcular nossos extremos do intervalo de no vetor :
Então:
E:
Nossa integral então vai ficar:
Vamos então definir nossa função nos pontos:
Portanto:
Então: