1. Determine uma função f tal que F → = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F(x, y) = (1 + xy)e^(xy) i + (x^2 e^(xy)) j

C : r(t) = cos t i + 2 sen t j , 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo certo?

Temos um campo F → :

F → x , y = 1 + x y e x y   i → + x 2 e x y j →

E esse campo F → é dado pelo gradiente de uma função f :

F → = ∇ f

Lembra do operador gradiente? Ele é calculado pelas derivadas parciais da função:

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y

Portanto:

F → = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Ou saindo dessa notação vetorial:

∂ f ∂ x = F x

∂ f ∂ y = F y

Hmmmmmm ficou menos confuso agora ne?

Bom, se as componentes de F → são as derivadas de f , então pra achar f faz sentido a gente integrar? Faz sim, você não está louca!

Vamos integrar F x em x pra achar um candidato pra função potencial f , mas depois pra garantir que não perdemos nenhum termo (tem perda de termos constantes na derivação), a gente deriva em y e vê se bate com o termo F y .

Confuso? Na prática vai ficar melhor.

Na parte b) queremos calcular:

∫ C F → ⋅ d r →

Sobre C : r t = cos ⁡ t   i + 2   s e n   t   j , 0 ≤ t ≤ π 2

Neste ponto, já teremos a função potencial f .

E aí o negócio que nos salva é o seguinte: se esse campo for um campo conservativo, então ele tem uma propriedade que diz que essa integral de linha só depente dos pontos inicial e final da curva:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ C ∇ f ⋅ d r = f r b - f ( r ( a ) )

Em que C é a curva dada pela função vetorial r ( t ) , a ≤ t ≤ b , então:

Ou seja, a única coisa que precisamos fazer é aplicar nossos limites do parâmetro t no nosso vetor parametrizado r ( t ) , depois calcular f r t pra cada ponto e as diferenças desses valores.

Bora resolver isso!

Passo 2

Vamos começar provando que o campo vetorial F → é conservativo.

Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

No nosso campo, temos:

F → x , y = 1 + x y e x y   i → + x 2 e x y j →

F x = 1 + x y e x y

F y = x 2 e x y

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ 1 + x y e x y ∂ y = x e x y ( 2 + x y )

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ x 2 e x y ∂ x = x e x y ( 2 + x y )

Provamos que:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

E, portanto, nosso campo é sim conservativo! Beleza! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.

Passo 3

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F / ∂ x   e integrar em relação à x :

∫ F x   d x   = ∫ 1 + x y e x y d x

Vamos aplicar uma substituição:

u = x y

d u = y d x

∫ 1 + x y e x y d x = ∫ 1 + u e u 1 y   d u = 1 y ∫ 1 + u e u d u

1 y ∫ 1 + u e u d u = 1 y ∫ e u d u + ∫ u e u d u

Esses resultados já são mais conhecidinhos, então vamos pro resultado:

1 y ∫ e u d u + ∫ u e u d u = 1 y e u + e u u - 1 + g y

= u e u y + g y = x e x y g ( y )

Essa constante g ( y ) aparece porque na derivação parcial, as outras variáveis ficam constantes. Então quando derivamos em x , perdemos os termos que são funções apenas de y . Então aí precisamos adicionar uma possível função de y .

Então, o resultado da nossa integral é:

f = x e x y + g ( y )

Passo 4

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

f = x e x y + g ( y )

∂ f ∂ y = x 2 e x y + g ' ( y )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = x 2 e x y

E agora vamos igualar as duas equações!

∂ f ∂ y = F y

Então:

x 2 e x y = x 2 e x y + g ' ( y )

Daí tiramos que:

g ' y = 0

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

∫ g ' ( y ) d y = ∫ 0   d y

g y = 0 + C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = x e x y + C

Passo 5

Agora podemos finalmente calcular nossa parte b).

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ C ∇ f ⋅ d r = f r b - f ( r ( a ) )

Então precisamos calcular nossos extremos do intervalo de t no vetor r ( t ) :

r t = cos ⁡ t   i + 2   s e n   t   j

0 ≤ t ≤ π 2

Então:

r 0 = cos ⁡ 0   i + 2   s e n   0   j = ( 1,0 )

E:

r π 2 = cos ⁡ π 2   i + 2   s e n   π 2   j = ( 0,2 )

Nossa integral então vai ficar:

∫ C ∇ f ⋅ d r = f r b - f r a = f 0,2 - f 1,0

Vamos então definir nossa função nos pontos:

f = x e x y + C

f r 0 = f 1,0 = 1 ⋅ e 1 ⋅ 0 + C = 1 + C

f r π 2 = f 0,2 = 0 ⋅ e 0 ⋅ 2 + C = C

Portanto:

∫ C F → ⋅ d r → = f 0,2 - f 1,0 = C - 1 + C

Então:

∫ C F → ⋅ d r → = - 1

Resposta

f = x e x y + C

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