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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 14

  1. Determine uma função f tal que F → = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F → x , y = 1 + x y e x y   i → + x 2 e x y j →

C : r t = cos ⁡ t   i + 2   s e n   t   j , 0 ≤ t ≤ π 2

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo certo?

Nossa questão tem duas partes: a primeira pede para acharmos uma função f ( x , y ) tal que F → = ∇ f . Para isso precisamos integrar nossa derivada parcial em x da componente   F x :

∫ F x   d x  

Essa integral nos dará uma função constante g y , e para encontrar seu valor vamos derivar nossa função potencial que acabamos de encontrar pela integral, em relação a y :

∂ f ∂ y

E teremos a derivada dessa função constante que estamos procurando, que é g ' y . Para encontrarmos o valor dela, fazemos:

∂ f ∂ y = F y

Agora que encontramos a derivada g ' y , ainda vamos precisar encontrar a função original g y , e para isso basta resolvermos:

∫ g ' ( y ) d y = g ( x )

Daí substituímos essa função constante, e teremos enfim nossa função f ( x , y ) tal que F → = ∇ f .

A parte b) pede para usarmos a parte a) para calcular

∫ C F → ⋅ d r →

Sobre C : r t = cos ⁡ t   i + 2   s e n   t   j , 0 ≤ t ≤ π 2

Para isso usaremos o Teorema que diz: seja C uma curva dada pela função vetorial r ( t ) , a ≤ t ≤ b , então:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ C ∇ f ⋅ d r = f r b - f ( r ( a ) )

Ou seja, a única coisa que precisamos fazer é aplicar nossos limites do parâmetro t no nosso vetor parametrizado r ( t ) e calcular as diferenças desses valores.

Nesse caso o enunciado já nos deu a parametrização da curva C :

r t = cos ⁡ t   i + 2   s e n   t   j

E os limites:

0 ≤ t ≤ π 2

Bora resolver isso!

Passo 2

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar que aquela integral independe do caminho precisamos saber se o campo vetorial F → é conservativo.

Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então:

F x = 1 + x y e x y

F y = x 2 e x y

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ 1 + x y e x y ∂ y = x e x y ( 2 + x y )

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ x 2 e x y ∂ x = x e x y ( 2 + x y )

Provamos que:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

E, portanto, nosso campo é sim conservativo! Beleza! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.

Passo 3

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F / ∂ x   e integrar em relação à x :

∫ F x   d x   = ∫ 1 + x y e x y d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g ( y ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?). Então, o resultado da nossa integral é:

f = x e x y + g ( y )

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 4

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = x 2 e x y + g ' ( y )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = x 2 e x y

E agora vamos igualar as duas equações!

∂ f ∂ y = F y

Então:

x 2 e x y = x 2 e x y + g ' ( y )

Daí tiramos que:

g ' y = 0

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

∫ g ' ( y ) d y = ∫ 0   d y

g y = 0 + C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = x e x y + C

Passo 5

Agora podemos finalmente calcular nossa parte b).

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ C ∇ f ⋅ d r = f r b - f ( r ( a ) )

Então precisamos calcular nossos extremos do intervalo de t no vetor r ( t ) :

r t = cos ⁡ t   i + 2   s e n   t   j

0 ≤ t ≤ π 2

Então:

r 0 = cos ⁡ 0   i + 2   s e n   0   j = ( 1,0 )

E:

r π 2 = cos ⁡ π 2   i + 2   s e n   π 2   j = ( 0,2 )

Nossa função f ( x , y ) nós conseguimos na parte a) e como a constante C   pode assumir qualquer valor constante, fazemos C = 0 .

f = x e x y

Vamos então definir nossa função nos pontos     r 0 e r π / 2 :

f r 0 = f 1,0 = 1 ⋅ e 1 ⋅ 0 = 1

E:

f r π 2 = f 0,2 = 0 ⋅ e 0 ⋅ 2 = 0

Portanto:

∫ C F → ⋅ d r → = f 0,2 - f 1,0 = 0 - 1

Então:

∫ C F → ⋅ d r → = - 1

Resposta

f = x e x y + C

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