Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.1 - Ex. 10

Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro tcresce.

r t = s e n   π t ,   t , cos ⁡ π t

Passo 1

Fala ai pessoal! Tranquilo? Vamos entender como se resolve esta questão? O que vamos fazer?

Temos a equação vetorial:

r t = s e n   π t ,   t , cos ⁡ π t

Seguinte! Primeiro identificar as componentes da curvas, analisar o comportamente das funções trigonométricas relacionadas e por fim entender a variação de t .

Isso tudo para plotarmos o gráfico!

Pegou a visão? Então mãos a obra, ou melhor mãos nos cálculos! 😊

Passo 2

A função r ( t ) possui três componentes:

x t = sen ⁡ π t

y ( t ) = t

z ( t ) = c o s ⁡ ( π t )

Essas componentes representam as coordenadas x , y e z da curva em termos do parâmetro t

Passo 3

Bora analisar o Comportamento das Funções Trigonométricas?

As funções trigonométricas sin ⁡ ( π t )   e c o s ⁡ ( π t )   variam periodicamente com t . Enquanto t varia de - ∞ a + ∞ , s e n ⁡ ( π t ) oscila entre - 1 e 1 , e c o s ( π t ) oscila entre 1 e - 1 .

E agora podemos entender a variação de t , o parâmetro t determina como as coordenadas x , y e z mudam ao longo da curva. Conforme t aumenta:

  • s i n ⁡ ( π t ) varia de - 1 para 1 e de volta para - 1 repetidamente.
  • t aumenta linearmente.
  • c o s ⁡ ( π t ) varia de 1 para - 1 e de volta para 1 repetidamente.

Passo 4

Vamos concluir?

A identidade trigonométrica fundamental sen ² ⁡ θ + cos ² ⁡ θ = 1   pode ser aplicada aqui para entender a relação entre s e n ( π t )   e c o s ⁡ ( π t ) .

Para cada valor de t , temos:

se n 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1  

Isso significa que os valores de s e n ⁡ ( π t ) e c o s ⁡ ( π t ) variam de forma que suas quadradas somadas sempre resultam em 1 , indicando que eles se movem sobre a circunferência unitária no plano x y .

Logo temos uma circunferência variando com t ao longo do eixo y , formando uma espiral.

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva. r → t = t 2 , ln ⁡ t ,t
Trace a curva com equações paramétricas x = 1 + cos ⁡ 16 t cos ⁡ t,y = 1 + cos ⁡ 16 ts e nt,z = 1 + cos ⁡ 16 t Explique a aparência da curva, mostrando que ela está em um cone.
Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva. r t = t ,e t , cos ⁡ t
Mostre que a curva com equações paramétricas x = t 2,y = 1 - 3 t,z = 1 + t 3 passa pelos pontos 1 ,4 ,0 e 9 ,- 8 ,28 , mas não passa pelo ponto 4 ,7 ,- 6 .
Tente esboçar à mão a curva obtida pela intersecção do cilindro circular x 2 + y 2 = 4 com o cilindro parabólico z = x 2 . Determine então as equações paramétricas dessa curva e utilize um computador