Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro tcresce.

r t = 1 , cos ⁡ t , 2   s e n   t

Passo 1

Fala ai pessoal! Tranquilo?

Vamos entender um pouco sobre essa questão?

A equação   r t = 1 , cos ⁡ t , 2   s e n   t é uma equação vetorial, logo ele é composto pelas componentes i ,   j   e   k que correspondem respectivamente aos eixos x , y   e   z . Para conseguirmos esboçar o gráfico temos que estipular valores de t para termos pontos da curva.

Vamos começar?

Passo 2

Substituindo so valor de t

Para t = 0 , as coordenadas são

x = 1 ,

  y = cos ⁡ 0 = 1

z = 2 sen ⁡ 0 = 0

Para t = π 2 ​, as coordenadas são

x = 1 x = 1

  y = cos ⁡ π 2 = 0

z = 2 sin ⁡ π 2 = 2

Para 𝑡=𝜋t=π, as coordenadas são

x = 1 x = 1

y = cos ⁡ π = - 1

z = 2 s i n ⁡ ( π ) = 0

Passo 3

Será melhor construirmos uma tabela para vermos os pontos e termos uma noção da curva formada.

Passo 4

Vamos agora rerificar o valor do raio através de uma relação trigonométrica para o valor de y e z .

y = cos ⁡ t

z = 2 s e n   t

Vamos eliminar esse 2   do lado do seno para poder fazer a nossa identidade trigonométrica

y 2 + z 2 2 = 1

cos ⁡ t 2 + 2   s e n   t 2 2 = 1

( cos ⁡ t ) 2 + s e n   t 2 = 1

E isso, meus caros, é a famosa equação da elipse, então no final das contas temos uma elipse no plano x = 1 e raio igual a 1 .

Passo 5

E por fim, toda essa analise nos seu a seguinte curva:

A curva descrita pela equação vetorial é um círculo de raio 1 no plano y z , centrado em ( 1,0 , 0 ) , visto que x é constante e igual a 1 . A direção na qual o parâmetro t cresce é indicada no sentido anti-horário quando visto de cima para baixo.

O parâmetro t está crescento ao longo do plano x = 1 no sentido anti-horário, como indicado pelas setas ao longo da elipse.

Resposta

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