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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 15.8 - Ex. 3

Mude de coordenadas retangulares para esféricas.

(a) 1 , 3 , 2 3

(b) 0 , - 1 , - 1

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo?

Nossa questãozinha pede para mudarmos as coordenadas retangulares:

1 , 3 , 2 3

E:

0 , - 1 , - 1

Para coordenadas esféricas.

Ou seja, temos uma coordenada do tipo x , y , z e queremos transformá-la numa coordenada do tipo ( ρ , ϕ , θ ) .

Pra resolver essa questão não tem mistério. Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas esféricas para correlacionarmos com os pontos em coordenadas retangulares equivalentes.

As relações entre coordenadas esféricas ρ , ϕ , θ e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

De maneira inversa, temos que:

ρ = x 2 + y 2 + z 2 cos ⁡ ϕ = z ρ cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ

Com essas relações em mãos, fazer essa transição fica bem simples.

Bora lá!

Passo 2

Desta forma fica fácil, né? Os nossos pontos ficam da seguinte forma:

(a) x , y , z = 1 , 3 , 2 3

Encontrando nosso valor de ρ , substituindo nossos valores em sua equação:

ρ = x 2 + y 2 + z 2

Ficamos com:

ρ = 1 + 3 + 12 = 4

Para ϕ , temos:

cos ⁡ ϕ = z ρ = 3 2

Tirando o arco cosseno de ϕ :

ϕ = π 6

Finalmente, para θ :

cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ = 1 4 sen ⁡ π 6

Tirando o arco cosseno de θ :

θ = π 3

Portanto, nossa coordenada será:

ρ , ϕ , θ = 4 , π 6 , π 3

Passo 3

(b)   x , y , z = 0 , - 1 , - 1

Aqui fazemos o mesmo processo do passo 2.

ρ = x 2 + y 2 + z 2

Substituindo nossos valores:

= 0 + 1 + 1 = 2

Então:

ρ = 2

Para ϕ , temos:

cos ⁡ ϕ = z ρ = - 1 2

Tirando o arco cosseno de ϕ :

ϕ = 3 π 4

Igualmente para θ :

cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ = 0

Tirando o arco cosseno:

θ = 3 π 2 ⏟ p o i s   y = - 1 < 0

Por fim, teremos:

ρ , ϕ , θ = 2 , 3 π 2 , 3 π 4

Resposta

(a) 1 , 3 , 2 3 ↔ 4 , π 6 , π 3

(b) 1 , 3 , 2 3 ↔ 2 , 3 π 4 , 3 π 2

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 2 ≤ ρ ≤ 4 ,0 ≤ ϕ ≤ π 3 ,0 ≤ θ ≤ π
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 ,π / 2 ,π / 2 ) ( 4 , -π / 4 ,π / 3 )
Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E ( x e x 2 + y 2 + z 2 ) d V , onde E é a porção da bola unitáriax 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 que fica no primeiro octante.
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ - 2 2 ∫ - 4 2 - y 2 4 2 - y 2 ∫ - 4 2 - y 2 - x 2 4 2 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 d z d x d y
Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E ( x 2 + y 2 ) d V , onde E está entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 + z 2 = 9 ;