Enunciado

Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.

r t = t ,   2 - t ,   2 t

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação vetorial:

r t = t ,   2 - t ,   2 t

Queremos esboçar o seu gráfico e indicar com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.

Para isso, primeiro a gente vai interpretar cada uma das componentes dadas na equação vetorial. Com isso, saberemos mais ou menos o comportamento da nossa curva.

Em seguida, iremos atribuir alguns valores de t e analisar se os valores das componentes estão aumentando ou diminuindo de forma geral.

Lembre-se que a equação r t = t ,   2 - t ,   2 t é uma equação vetorial, logo ela é composta pelas componentes i ,   j   e   k que correspondem respectivamente aos eixos x , y   e   z .

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos analisar cada uma das componentes de r t :

x t = t

y t = 2 - t

z t = 2 t

Perceba que cada uma se comporta como uma reta. Assim, a nossa curva será uma reta no plano tridimensional.

Uma das técnicas para plotar o gráfico desta equação vetorial é ir supondo valores de t e verificar quanto vale o ponto ( x ,   y ,   z ) .

Vamos fazer uma tabela para nos auxiliar:

Perceba que os valores no eixo z estão aumentando. Em outras palavras, é como se a nossa reta estivesse crescendo para cima.

Passo 3

Plotando o gráfico em várias perspectivas de acordo com os pontos encontrados e colocando uma seta mostrando que está crescendo para cima, temos:

Obs: Para ficar melhor de analisar, a gente foi rotacionando o eixo x no sentido horário.

Resposta

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