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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 62

Mostre que as pirâmides cortadas do primeiro octante por qualquer plano tangente à superfície x y z = 1 em pontos do primeiro octante têm o mesmo volume.

Passo 1

O problema fornece a superfície x y z = 1 e pede para provarmos que as pirâmides formadas pelas intereseções com os eixos dos planos tangentes à superfície em qualquer ponto têm sempre o mesmo volume. Assim, nosso primeiro passo deve ser achar a equação do plano tangente à superfície essa superfície dada no ponto ( a ,   b ,   c ) .

Para isso, o primeiro passo é achar a equação do plano tangente em algum ponto genérico ( a ,   b , c ) .

Para achar o plano tangente, vamos olhar para a superfície como sendo a superfície de nível 0 da seguinte função função de três variáveis:

f x , y , z = x y z - 1

Veja que essa superfície de nível 0, ou seja, f x , y , z = 0 , é a superfície

x y z = 1  

que nos foi dada pela questão.

Isso é muito útil, pois o gradiente é perpendicular às superfícies de nível, então ele será o vetor normal do plano tangente.

Uma vez obtido o vetor gradiente em um certo ponto a , b , c da superfície, podemos obter a equação do plano tangente a ela, que será dada por

∂ f ∂ x a , b , c ⋅ x - a + ∂ f ∂ y a , b , c ⋅ y - b + ∂ f ∂ z a , b , c ⋅ z - c = 0

Desse modo, nosso trabalho é obter o vetor gradiente nesse ponto e substituir nessa equação para determinar o plano tangente. A partir daí nós calcularemos a interseção desse plano com os eixos cartesianos e mostraremos que essas interseções dão origem a uma pirâmide de volume constante.

Vamos ver como isso se desenrola? Vem comigo!

Passo 2

O gradiente de uma função f ( x , y , z ) é dado por

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Lembrando que f x , y , z = x y z - 1 , teremos

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x y z - 1

∂ f ∂ x = y z

Da mesma forma,

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x y z - 1

∂ f ∂ y = x z

E

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x y z - 1

∂ f ∂ z = x y

Portanto,

∇ f x , y , z = y z ,   x z ,   x y

No ponto ( a ,   b ,   c ) temos

∇ f a , b , c = b c , a c ,   a b

Passo 3

A equação do plano tangente no ponto ( a , b , c ) é

∂ f ∂ x a , b , c ⋅ x - a + ∂ f ∂ y a , b , c ⋅ y - b + ∂ f ∂ z a , b , c ⋅ z - c = 0

Substituindo os valores que obtivemos antes,

b c x + a c y + a b z = 3 a b c

Essa é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto a , b , c .  

Passo 4

Fazendo y = z = 0   na equação do plano tangente, encontramos a interseção dele com o eixo x :

b c x = 3 a b c

Logo,

x = 3 a

Analogamente, se queremos a interseção com o eixo y , devemos fazer x = z = 0 . Fazendo as continhas nós encontramos

y = 3 b

Se queremos a interseção com o eixo z , devemos fazer y = x = 0 . Aí encontramos:

z = 3 c

Passo 5

O volume da pirâmide será:

V = A b ⋅ h 3

A área da base será a área do triângulo retângulo no plano x y :

A b = x y 2

Já a altura estará no eixo z :

h = z

Assim,

V = x y z 6

Desta forma, como x = 3 a , y = 3 b e z = 3 c :

V = 27 a b c 6 = 9 a b c 2

Por fim, como o ponto ( a ,   b ,   c ) deve pertencer à superfície x y z = 1 , ele deve satisfazer sua equação:

a b c = 1

Portanto,

V = 9 ⋅ 1 2 = 9 2

Vemos que todas as pirâmides têm sempre o mesmo volume!

Resposta

Demonstração.

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