Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 16
Determine os vetores velocidade e de posição de uma partícula dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.
Passo 1
E aí, pessoal. Tudo certo?
A questão nos pede para obter velocidade e posição a partir da aceleração.
Nós sabemos que a aceleração é definida como a derivada da velocidade:
A partir disso, vamos então integrar essa equação com respeito ao tempo para obter a velocidade.
Depois de obter a velocidade, vamos usar a sua definição, integrando novamente:
para obter a posição em função do tempo, .
Tá comigo até aqui? Então vamos lá...
Passo 2
Primeiro vamos obter a velocidade a partir da aceleração pela integração da aceleração:
Aprendemos em cálculo 1 que a integral da derivada de uma função vai resultar na própria função somada a uma constante de integração, ou seja,
Agora vamos substituir a aceleração dentro da integral, resultando em
Note que é um vetor constante (não varia com ), então ele pode sair da integral, que resultará em
Em , temos que:
Então,
Dessa forma, o vetor velocidade procurado é
Passo 3
Agora que temos a velocidade, vamos integrar ela para obter a posição:
Substituindo a expressão encontrada para a velocidade na integral:
Podemos fazer essa integral em cada uma das componentes. Assim, obtemos:
Em t=0, temos que:
Dessa forma, o vetor posição procurado é
Resposta
Os vetores velocidade e posição procurados são: