Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 5
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de especificados.
Passo 1
Olá, meu queridooo. Vem comigo que a gente vai resolver essa atividade juntos.
Dada a equação da posição:
Vamos encontrar as equações para a velocidade, aceleração e velocidade escalar dessa partícula a partir da equação da posição que nos foi dada.
Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:
Tem como função vetorial velocidade:
Velocidade escalar:
E vetor aceleração:
Então vamos partir para a resolução.
Passo 2
Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração, e após isso, esboçar a curva da seguinte função vetorial, desenhando o vetor aceleração e posição no ponto:
O vetor posição em é:
Vamos calcular a velocidade:
E para a nossa situação, temos que:
Então substituindo na relação:
Em :
Passo 3
A velocidade escalar da partícula é:
Então temos:
Reescrevendo de forma a podermos utilizar da identidade trigonométrica fundamental:
Passo 4
O vetor aceleração da partícula é:
Derivando então a equação da velocidade:
Passo 5
Para esboçar a curva, vamos transformar a equação paramétrica em equação cartesiana:
Vamos reorganizar a equação:
Somando as 2 equações:
Que é uma elipse!
O gráfico dela é:
Veja que a velocidade é dada pelo vetor:
Então temos unidades na direção de e uma unidade na direção de , isso no ponto .
Já para o vetor aceleração, temos que seu vetor é dado por:
Então temos unidades na direção de e unidade na direção , também iniciando o vetor em
Resposta
