Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 5
Determine a velocidade, a aceleração e a rapidez da partícula cuja função posição é dada. Esquematize o caminho da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.
Passo 1
Fala ai galerinha! Aqui temos o vetor posição:
Tudo tranquilo? Essa é uma questão bem prática, digo isso porque temos que derivar a posição para encontrar a velocidade, e derivar a velocidade para encontrar a aceleração. Viu!?
Na questão também pede o desenho dos vetores velocidade e da aceleração da partícula, neste caso teremos que pedir ajuda a um software.
Agora é só resolver!
Passo 2
O vetor posição é:
A velocidade será a derivda da posição em relação ao tempo:
Calculando as derivadas, obtermos:
Passo 3
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Calculando as derivadas obtemos a aceleração:
Passo 4
A rapidez é o módulo do vetor velocidade:
Passo 5
Vamos substituir a posição, velocidade e aceleração em
- Posição em
Lembrando que
- Velocidade em
- Aceleração em
Passo 6
Portanto a rapidez em
Passo 7
Hora de esboçar o gráfico! Mas antes se liga na analise dos vetores!
- A trajetória é determinada pela função posição , essa trajetória é uma curva no plano
No ponto em : O ponto no plano.
- O vetor velocidade em , o vetor é um vetor que aponta na direção .
- O vetor aceleração em , o vetor é um vetor que aponta na direção .
O esquema é essencialmente um gráfico onde a trajetória da partícula é desenhada, e os vetores velocidade e aceleração são indicados no ponto .
Resposta
Os vetores velocidade e aceleração no ponto dado são: