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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 29

Determine o volume do sólido dado.

Limitado pelos cilindros z = x 2 , y = x 2 e os planos z = 0 , y = 4 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Podemos expressar o volume de um sólido limitado por uma superfície e uma região através da seguinte integral dupla:

V = ∬ D f x , y d A

Onde D é a região limitada na qual devemos integrar a função.

Temos que a equação da superfície é dada por:

z = f x , y = x 2

Uma análise rápida nos permite dizer os limites de integração. Temos que:

y = x 2

Então:

x = ± y

E:

Se y = 4 , temos que:

x = ± 2

Então x está no intervalo:

- 2 ≤ x ≤ 2

E y está no intervalo:

x 2 ≤ y ≤ 4

Passo 2

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | x 2 ≤ y ≤ 4 , - 2 ≤ x ≤ 2  

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

V = ∬ D f x , y d A = ∫ - 2 2 ∫ x 2 4 f ( x , y ) d y d x

Como f x , y = z , temos:

V = ∫ - 2 2 ∫ x 2 4 x 2 d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ x 2 4 x 2 d y = x 2 y x 2 4

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ x 2 4 x 2 d y = x 2 4 - x 2

∫ x 2 4 x 2 d y = 4 x 2 - x 4

Logo, substituindo, temos:

V = ∫ - 2 2 ∫ x 2 4 x 2 d y d x = ∫ - 2 2 4 x 2 - x 4 d x

Passo 3

Agora é só resolver:

V = ∫ - 2 2 4 x 2 - x 4 d x = 4 x 3 3 - x 5 5 - 2 2

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ - 2 2 4 x 2 - x 4 d x = 4 2 3 3 - 2 5 5 - 4 - 2 3 3 - - 2 5 5

Resolvendo, temos:

∫ - 2 2 4 x 2 - x 4 d x = 4 2 3 3 - 2 5 5 + 4 2 3 3 - 2 5 5

∫ - 2 2 4 x 2 - x 4 d x = 2 4 2 3 3 - 2 5 5

∫ - 2 2 4 x 2 - x 4 d x = 2 32 3 - 32 5

∫ - 2 2 4 x 2 - x 4 d x = 64 3 - 64 5

∫ - 2 2 4 x 2 - x 4 d x = 128 15

Portanto, o volume será:

V = 128 15

Resposta

V = 128 15

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