Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 26
Calcule a integral iterada.
Passo 1
Fala, gente boa! Tudo na paz?
Nossa questão pede pra gente calcular a seguinte integral dupla:
Uma integral iterada é uma integral que a gente resolve em uma certa sequência, nesse caso aqui, a “de dentro” primeiro e a de fora depois. Ou seja, a gente começa a integral mais interna, que no nosso caso aqui está em função de na nossa questão.
Então, o processo fica assim:
- primeiro, a gente calcula a integral da função em relação a . O resultado dessa integral se torna então o integrando da integral externa, que é em função de . Assim, o valor da integral interna é utilizado como a função a ser integrada na etapa seguinte
- Depois integramos a função que a gente obteve na primeira integral, como integral de fora e assim a gente termina o cálculo da integral iterada.
Quando estamos integrando em função de , consideramos como constante, e quando estamos integrando em função de , consideramos constante.
Vem ver como fica!
Passo 2
Vamos lá, pela ordem de integração, a gente vai integrar em primeiro e depois em . Agora que estamos integrando em , tratamos como constante.
Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:
Agora ficamos com o resultado da integral de dentro como o integrando da função de fora em função de .
Passo 3
Vamos integrar em agora e pronto...
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de integração:
Por fim ficamos com:
Pronto! 😊