Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 s + t   d s d t

Passo 1

Fala, gente boa! Tudo na paz?

Nossa questão pede pra gente calcular a seguinte integral dupla:

∫ 0 1 ∫ 0 1 s + t   d s d t

Uma integral iterada é uma integral que a gente resolve em uma certa sequência, nesse caso aqui, a “de dentro” primeiro e a de fora depois. Ou seja, a gente começa a integral mais interna, que no nosso caso aqui está em função de s   na nossa questão.

Então, o processo fica assim:

  • primeiro, a gente calcula a integral da função em relação a s . O resultado dessa integral se torna então o integrando da integral externa, que é em função de t . Assim, o valor da integral interna é utilizado como a função a ser integrada na etapa seguinte
  • Depois integramos a função que a gente obteve na primeira integral, como integral de fora e assim a gente termina o cálculo da integral iterada.

Quando estamos integrando em função de s , consideramos t como constante, e quando estamos integrando em função de t , consideramos s constante.

Vem ver como fica!

Passo 2

Vamos lá, pela ordem de integração, a gente vai integrar em s primeiro e depois em t . Agora que estamos integrando em s , tratamos t como constante.

∫ 0 1 ∫ 0 1 s + t   d s d t

Calculando a integral:

∫ 0 1 2 3 s + t 3 2 0 1 d t

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 1 2 3 1 + t 3 2 - t 3 2 d t

Agora ficamos com o resultado da integral de dentro como o integrando da função de fora em função de t .

Passo 3

Vamos integrar em t agora e pronto...

∫ 0 1 2 3 1 + t 3 2 - t 3 2 d t

Resolvendo a integral:

2 3 2 5 1 + t 5 2 - 2 5 t 5 2 0 1

Aplicando os limites de integração:

4 15 2 5 2 - 1 - 1 - 0

Por fim ficamos com:

∫ 0 1 ∫ 0 1 s + t   d s d t = 4 15 ( 2 5 2 - 2 )

Pronto! 😊

Resposta

4 15 ( 2 5 2 - 2 )

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