Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 32
Determine o volume do sólido dado.
Limitado pelos cilindros e
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Podemos expressar o volume de um sólido limitado por uma superfície e uma região através da seguinte integral dupla:
Onde é a região limitada na qual devemos integrar a função.
Observe que a projeção do cilindro no plano é um círculo centrado na origem.
Observe também que o cilindro cruza a seção transversal vertical em um quadrado de comprimento lateral:
Portanto, os limites serão:
Passo 2
Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:
Assim, a integral dupla pode ser escrita como:
Como , temos:
Vamos resolver a integral de dentro:
Agora, aplicando os limites de integração, temos:
Logo, substituindo, temos:
Passo 3
Agora é só resolver por substituição:
Agora, aplicando os limites de integração, temos:
Resolvendo, temos:
Logo:
Portanto, o volume será: