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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 32

Determine o volume do sólido dado.

Limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = r 2 e y 2 + z 2 = r 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para resolver essa questão, vamos usar a técnica de integração dupla para calcular o volume do sólido. A ideia é projetar o volume no plano z = 0 e usar essa projeção para definir a região de integração. Em seguida, integramos a função que representa a altura do sólido em cada ponto da região projetada.

Primeiro, vamos observar que a projeção do cilindro x 2 + y 2 = r 2 no plano z = 0 é um círculo centrado na origem com raio r .

Agora, vamos considerar o cilindro x 2 + y 2 = r 2 . Este cilindro define a altura z em termos de y :

z = ± r 2 - y 2

A região R no plano x y é o círculo x 2 + y 2 ≤ r 2

Portanto, os limites serão:

- r 2 - y 2 ≤ x ≤ r 2 - y 2

Passo 2

Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. O volume V pode ser expresso como:

V = ∬ R f x , y d A

Aqui, f x , y = 2 r 2 - y 2 porque o cilindro x 2 + y 2 = r 2 nos dá duas alturas simétricas z = r 2 - y 2 e z = - r 2 - y 2 .

Assim, temos:

V = 2 ∬ R r 2 - y 2 d A

Convertendo isso para uma integral iterada:

V = ∬ D f x , y d A = 2 ∫ - r r ∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 d x d y

Passo 3

Primeiro, resolvemos a integral interna em x :

∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 d x

Aqui, r 2 - y 2 é uma constante em relação a x . Integrando em x :

∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 d x = r 2 - y 2 x - r 2 - y 2 r 2 - y 2

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 d x = r 2 - y 2 r 2 - y 2 - - r 2 - y 2

∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 d x = r 2 - y 2 2 r 2 - y 2

= 2 r 2 - y 2

Agora substituindo isso na integral externa:

V = 2 ∫ - r r ∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 d x d y = 2 ∫ - r r 2 r 2 - y 2 d y

Passo 4

Agora é só resolver a integral em y :

V = 2 ∫ - r r 2 r 2 - y 2 d y

V = 4 ∫ - r r r 2   d y - ∫ - r r y 2   d y

A primeira integral é simples:

∫ - r r r 2   d y = r 2 y - r r

= r 2 r - - r

= 2 r 3

A segunda integral é a integral de uma função par:

∫ - r r y 2   d y = 2 ∫ 0 r y 2   d y

= 2 y 3 3 0 r

= 2 3 r 3

Substituindo os valores de volta na integral:

V = 4 2 r 3 -   2 3 r 3

V = 4   4 3 r 3

= 16 3 r 3

Portanto, o volume será:

V = 16 3 r 3

Resposta

V = 16 3 r 3

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Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos planos z = x , y = x , x + y = 2 e z = 0
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 4 e os planos x = 2 y , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Entre os paraboloides z = 2 x 2 = y 2 e z = 8 - x 2 - 2 y 2 e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - x d y d x
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Limitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .