Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = r 2 e y 2 + z 2 = r 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Podemos expressar o volume de um sólido limitado por uma superfície e uma região através da seguinte integral dupla:

V = ∬ D f x , y d A

Onde D é a região limitada na qual devemos integrar a função.

Observe que a projeção do cilindro x 2 + y 2 = r 2 no plano z = 0 é um círculo centrado na origem.

Observe também que o cilindro y 2 + z 2 = r 2 cruza a seção transversal vertical em um quadrado de comprimento lateral:

z = ± r 2 - y 2

Portanto, os limites serão:

- r 2 - y 2 ≤ x ≤ r 2 - y 2

Passo 2

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | - r ≤ y ≤ r   , - r 2 - y 2 ≤ x ≤ r 2 - y 2  

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

V = ∬ D f x , y d A = 2 ∫ - r r ∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 f ( x , y ) d x d y

Como f x , y = z , temos:

V = 2 ∫ - r r ∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 d x d y

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 d x = r 2 - y 2 x - r 2 - y 2 r 2 - y 2

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 d x = r 2 - y 2 r 2 - y 2 - - r 2 - y 2

∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 d x = r 2 - y 2 2 r 2 - y 2

Logo, substituindo, temos:

V = 2 ∫ - r r ∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 d x d y = 2 ∫ - r r r 2 - y 2 2 r 2 - y 2 d y

Passo 3

Agora é só resolver por substituição:

V = 2 ∫ - r r r 2 - y 2 2 r 2 - y 2 d y

V = 4 ∫ - r r r 2 - y 2 d y = 4 r 2 y - y 3 3 - r r

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

4 ∫ - r r r 2 - y 2 d y = 4 r 2 r - r 3 3 - r 2 - r - - r 3 3

Resolvendo, temos:

4 ∫ - r r r 2 - y 2 d y = 4 r 2 r - r 3 3 + r 2 r - r 3 3

4 ∫ - r r r 2 - y 2 d y = 4 2 r 2 r - r 3 3

4 ∫ - r r r 2 - y 2 d y = 8 r 3 - r 3 3

4 ∫ - r r r 2 - y 2 d y = 16 3 r 3

Logo:

2 ∫ - r r ∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 d x d y = 16 3 r 3

Portanto, o volume será:

V = 16 3 r 3

Resposta

V = 16 3 r 3

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Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos planos z = x , y = x , x + y = 2 e z = 0
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 4 e os planos x = 2 y , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Entre os paraboloides z = 2 x 2 = y 2 e z = 8 - x 2 - 2 y 2 e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - x d y d x
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Limitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .