Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 27

15.27. Determine o volume do sólido limitado pela superfície z = x x 2 + y , pelos planos x = 0 ,   x = 1 ,   y = 0 .   y = 1 e z = 0 .

Passo 1

Beleza aqui queremos calcular o volume que está abaixo da superfície formada por z = x x 2 + y , mas essa região é delimitada por um retângulo que está no plano xy, esse retângulo é o seguinte R = 0 , 1 × 0 , 1 , são as delimitações que o enunciado dá.

Para calcular o volume abaixo de uma superfície, só precisamos fazer uma integral dupla, onde esse retângulo são nossos limites, e a superfície é nossa função. Desse jeito

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x x 2 + y d x d y  

Lembrando que isso é o mesmo que

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x x 2 + y d x d y  

Passo 2

Então a gente pode resolver separadamente, começando por

∫ 0 1 x x 2 + y d x

Para resolver essa integral precisamos fazer a seguinte substituição

u = x 2 d u = 2 x d x d u 2 = x d x

Então

∫ u + y 2 d u

Agora a gente precisa aplicar mais uma substituição

v = u + y d v = d u

Então

1 2 ∫ v 1 2 d v

Agora vamos usar a regra da potência

1 2 ∫ v 1 2 d v = 1 2 2 3   v 3 2 = 1 3 v 3 2

Agora vamos desfazer as substituições

1 3 v 3 2 = 1 3 ( u + y ) 3 2 = 1 3 ( x 2 + y ) 3 2

Agora vamos aplicar os limites

1 3 x 2 + y 3 2 0 1 = 1 3 1 2 + y 3 2 - 0 2 + y 3 2

= 1 3 1 + y 3 2 - y 3 2

Passo 3

Podemos integrar em y agora

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x x 2 + y d x d y  

V = ∫ 0 1 1 3 1 + y 3 2 - y 3 2 d y  

Vamos reescrever essa integral como a subtração de duas integrais

∫ 0 1 1 3 1 + y 3 2 - y 3 2 d y   = 1 3 ∫ 0 1 1 + y 3 2 d y - ∫ 0 1 y 3 2 d y  

Vamos resolver uma integral de cada vez, começando por

∫ 0 1 1 + y 3 2 d y

Para resolver essa integral basta a gente fazer a substituição

u = 1 + y d u = d y

Então

∫ u 3 2 d u

Ai é só usar a regra da potência

∫ u 3 2 d u = 2 5 u 5 2

Agora vamos voltar a substituição

2 5 u 5 2 = 2 5 ( 1 + y ) 5 2

Aplicando os limites

2 5 1 + y 5 2 0 1 = 2 5 1 + 1 5 2 - 0 + 1 5 2 = 2 5 2 5 2 - 1

Agora vamos resolver a segunda integral

∫ 0 1 y 3 2 d y

Esta basta a gente usar a regra da potência direto

∫ 0 1 y 3 2 d y = 2 5 y 5 2 0 1

Agora é só calcular nos limites

2 5 y 5 2 0 1 = 2 5 1 5 2 - 2 5 0 5 2 = 2 5

Então

1 3 ∫ 0 1 1 + y 3 2 d y - ∫ 0 1 y 3 2 d y = 1 3 2 5 2 5 2 - 1 - 2 5

Vamos simplificar um pouco, começando por colocar o 2 5 em evidência

2 15 2 5 2 - 1 - 1 = 2 15 2 5 2 - 2 = 2 15 4 ⋅ 2 1 2 - 2

Agora vamos colocar o 2 em evidência

2 15 4 ⋅ 2 1 2 - 2 = 4 15 2 ⋅ 2 1 2 - 1

Então o volume é

4 15 2 ⋅ 2 1 2 - 1

Resposta

V = 4 15 2 ⋅ 2 1 2 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = x + 2 y 2 e acima do retângulo R = 0,2 × [ 0,4 ] . Use a soma de Riemann com m = n = 2 e escolha os pontos amostrais como os cantos infer
a) Use uma soma de Riemann com m = n = 2 para estimar o valor de ∬ R s e nx + yd A , onde R = 0 , π × [ 0 , π ] . Tome como pontos amostrais os cantos inferiores esquerdos.b) Use a regra do ponto médi
Se R = 0,4 × [ - 1,2 ] , use a soma de Riemann com m = 2 , n = 3 para estimar o valor de ∬ R ( 1 - x y 2 ) d A . Tome os pontos de amostragem como (a) os cantos inferiores direitos e(b) como os cantos
(a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 1 + x 2 +3 y e acima do retângulo R = 1,2 × [ 0,3 ] . Use a soma de Riemann com m = n = 2 e escolha os pontos de amostragem como os cant
(a) Use uma soma de Riemann com m = n = 2 para estimar o valor de ∬ R x e - x y d A , onde R = 0,2 × [ 0,1 ] . Tome os pontos de amostragem como os cantos superiores direitos.(b) Use a Regra do Ponto