Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 29
15.29. Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro , pelo plano
Passo 1
Beleza aqui queremos calcular o volume do cilindro, mas só vamos calcular na região do primeiro octante, ou seja, , mas repare que é uma função de , para que , necessariamente .
Para calcular o volume abaixo de uma superfície, só precisamos fazer uma integral dupla, onde esse retângulo são nossos limites, e a superfície é nossa função. Desse jeito
Lembrando que isso é o mesmo que
Passo 2
Então a gente pode resolver separadamente, começando por
Agora a gente reescrever essa integral como a subtração de duas integrais
Vamos calcular essas integrais
Agora vamos resolver
Como estamos integrando em , é uma constante, então
Então
Passo 3
Podemos integrar em agora
Vamos novamente reescrever como a subtração de duas integrais
Vamos começar resolvendo
Agora vamos resolver a outra integral
Aqui vamos usar a regra da potência
Então
E esse é o volume do nosso cilindro.