15.6. Calcule a integral iterada.

∫ 1 4 ∫ 0 2 x + y d x d y

Passo 1

Faaaaaala turminha, tudo bem? Vamos começar!

O enunciado pede para calcular a integral iterada e fornece a seguinte integral dupla:

∫ 1 4 ∫ 0 2 x + y d x d y

Tá, mas o que é integral iterada? E como faz isso?

Vamos com calma. A integral iterada nada mais é que uma integral que tem mais de uma variável, e podemos deixar ela escrita igual a forma abaixo. Assim, começamos a integrar de dentro para fora.

Vamos deixar nossa integral nesse formato, e começamos a integrar em d x , aplicamos os limites de integração e repetimos o processo para d y .

Show pessoal! Vamos lá colocar mão na massa!

Passo 2

Vamos lá, temos que resolver a seguinte integral dupla:

∫ 1 4 ∫ 0 2 x + y d x d y

Lembra que falamos antes, vamos deixar a integral com a cara de uma integral iterada, vai ficar assim:

∫ 1 4 ∫ 0 2 x + y d x d y

A gente tem que integrar primeiro em d x e depois em d y .

Passo 3

Começando a integrar por dx.

∫ 1 4 ∫ 0 2 x + y d x d y

Para facilitar, vamos lembrar que a integral da soma é a soma das integrais, então

∫ 1 4 ∫ 0 2 x d x + ∫ 0 2 y d x d y

Agora está mais fácil de resolver né! Vamos integrar:

∫ 1 4 x 2 2 0 2 + y ⋅ x 0 2 d y

Aplicando os limites de integração, vamos ter:

∫ 1 4 2 2 2 + y ⋅ ( 2 ) d y

∫ 1 4 2 + 2 y d y

Passo 4

Agora ficamos com uma integral simples em d y .

∫ 1 4 2 + 2 y d y

De novo temos uma soma dentro da integral, logo podemos separar novamente:

∫ 1 4 2 + 2 y d y = ∫ 1 4 2   d y + ∫ 1 4 2 y   d y

Integrando, vamos ter:

2 y 1 4 + 2 ⋅ 2 3 ⋅ y 3 2 1 4

Aplicando os limites de integração, temos:

= 2 4 - 2 ( 1 ) + 4 3 ( 4 ) 3 2 - 4 3 ( 1 ) 3 2

Resolvendo vamos ter:

= 8 - 2 + 32 3 - 4 3

= 6 + 28 3 = 46 3

Ou seja,

∫ 1 4 ∫ 0 2 x + y d x d y = 46 3

Resposta

∫ 1 4 ∫ 0 2 x + y d x d y = 46 3

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