Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.1 - Ex. 4
a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima do retângulo . Use a soma de Riemann com e escolha os pontos amostrais como os cantos inferiores direitos.
b) Use a regra do ponto médio para dar uma estimativa da integral do item (a).
Passo 1
A questão pede para calcularmos o volume de um sólido estimando a integral de duas formas diferentes usando a soma de Riemann: no item (a) vamos usar como pontos amostrais os extremos inferiores direitos dos retângulos; já no item (b) usaremos o ponto médio.
Fazendo a soma de Riemann com , vamos particionar os intervalos em e em duas partes. Em , teremos os intervalos
Já em , teremos
Desta forma, os retângulos terão base e altura :
Assim,
onde .
Passo 2
Neste passo vamos resolver o item (a). Tomando como pontos amostrais os cantos inferiores direitos, podemos construir uma tabela com os valores de :
Somando todos os pontos da tabela:
Assim,
Passo 3
Neste passo vamos resolver o item (b):
Usando a regra do ponto médio, a tabela com os valores de fica:
Somando os termos da tabela, temos que
Assim, pela regra do ponto médio
Resposta
a)
b)