Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.1 - Ex. 3
a) Use uma soma de Riemann com para estimar o valor de , onde . Tome como pontos amostrais os cantos inferiores esquerdos.
b) Use a regra do ponto médio para dar uma estimativa da integral do item (a).
Passo 1
A questão pede para estimar a integral de duas formas diferentes usando a soma de Riemann: no item (a) vamos usar como pontos amostrais os extremos inferiores esquerdos dos retângulos; já no item (b) usaremos o ponto médio.
Fazendo a soma de Riemann com , vamos particionar os intervalos em e em duas partes. Em , teremos os intervalos
O mesmo ocorre no intervalo em . Desta forma, os retângulos serão na verdade quadrados de lado , de modo que
Assim,
onde .
Passo 2
Neste passo vamos resolver o item (a). Tomando como pontos amostrais os cantos inferiores esquerdos, podemos construir uma tabela com os valores de :
Somando todos os pontos da tabela:
Assim,
Passo 3
Neste passo vamos resolver o item (b):
Usando a regra do ponto médio, a tabela com os valores de fica:
Somando os termos da tabela, temos que
Assim, pela regra do ponto médio
Resposta
a)
b)