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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 25

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

y = e - x

y = 0

x = 0

x = 1

Passo 1

A curva que ele deu é:

y = e - x

Vamos fazer o esboço limitando com os valores de x e y que ele deu. Olha como é o esboço:

A região é entre a curva verde e a azul, limitada inicialmente pela laranja e no final pela vermelha.

Entao a região vai de x = 0 até x = 1 . Onde o raio do disco vai ser a função verde:

r x = e - x

O volume vai ser:

V = ∫ 0 1 π e - x 2 d x

V = ∫ 0 1 π e - 2 x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 1 π e - 2 x d x

V = π ∫ 0 1 e - 2 x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ e - 2 x d x

Vamos usar substituição simples para isso, fazendo:

- 2 x = a → - 2 d x = d a → d x = - d a 2

A nossa integral fica:

∫ e - 2 x d x = ∫ - e a 2 d a = - 1 2 ∫ e a d a

Resolvendo essa integral em a

- 1 2 ∫ e a d a = - 1 2 e a + C

Voltando para x

- 1 2 e a + C = - 1 2 e - 2 x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 1 e - 2 x d x = π - 1 2 e - 2 x 0 1 =

π - 1 2 e - 2 1 - π - 1 2 e - 2 0 =

π - 1 2 e - 2 - π - 1 2 =

Vamos ter:

- π e - 2 2 + π 2

Resposta

- π e - 2 2 + π 2

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