Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 10c
Determine o volume dos sólidos abaixo.
é limitado pelas superficíces , e .
Passo 1
Bom galera, vamos começar identificando as superfícies formadas pelas equações que a questão nos deu:
A gente pode notar que a região que chamaremos de , fica:
Onde a nossa função que será o limite superior é:
E o limite inferior é:
Com esse limite inferior e superior a gente encontra a função:
Passo 2
Belezinha, agora a gente deve fazer uma mudança de variável para a váriavel polar, aquela que ao invés de usarmos e usamos um raio e um ângulo , essa mudança de variavel é com aquela formulinha:
Onde temos que:
Passo 3
Agora, encontramos a nossa função na nova variável:
Nas novas variáveis fica:
Passo 4
Show de bolinhas, a gente precisa calcular o determinante jacobiano, que pode ser calculado simplismente assim, com o determinante de uma matriz formada pelas derivadas parciais:
Então, colocamos os valores:
Passo 5
Então, pegamos nossa região:
Onde nossa região é delimitada por:
Com a equação:
E a gente tem as equações:
Então vamos mudar de variavel:
Assim temos que a nossa região em é dada por:
Quanto a , nosso solido não tem nada que corte nosso cilindro e nosso cone transversalmente, ou seja eles tem meia circunferência completa, logo:
Passo 6
Por fim, montamos as integrais e calculamos:
Integramos a primeira vez:
E integramos denovo:
E prontinho. 😊