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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 10c

Determine o volume dos sólidos W abaixo.

W é limitado pelas superficíces z = 0 , x 2 + y 2 = 2 y e z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Bom galera, vamos começar identificando as superfícies formadas pelas equações que a questão nos deu:

z = 0 → P l a n o

x 2 + y 2 = 2 y → x 2 + y - 1 2 = 1 →   C i l i n d r o

z = x 2 + y 2 → C o n e

A gente pode notar que a região que chamaremos de D , fica:

0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 y

Onde a nossa função que será o limite superior é:

z = x 2 + y 2

E o limite inferior é:

z = 0

Com esse limite inferior e superior a gente encontra a função:

f x , y = x 2 + y 2 - 0

→ f x , y = x 2 + y 2

Passo 2

Belezinha, agora a gente deve fazer uma mudança de variável para a váriavel polar, aquela que ao invés de usarmos x e y usamos um raio r e um ângulo θ , essa mudança de variavel é com aquela formulinha:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q g r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

Onde temos que:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Passo 3

Agora, encontramos a nossa função na nova variável:

f x , y = x 2 + y 2

Nas novas variáveis fica:

→ g r , θ = r 2

→ g r , θ = r

Passo 4

Show de bolinhas, a gente precisa calcular o determinante jacobiano, que pode ser calculado simplismente assim, com o determinante de uma matriz formada pelas derivadas parciais:

∂ x , y ∂ r , θ = det ⁡ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Então, colocamos os valores:

det ⁡ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ sin ⁡ θ r cos ⁡ θ = r

Passo 5

Então, pegamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 y

Com a equação:

x 2 + y - 1 2 = 1

E a gente tem as equações:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Então vamos mudar de variavel:

r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ - 1 2 = 1

→ r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ - 2 r sin ⁡ θ + 1 = 1

→ r 2 = 2 r sin ⁡ θ

→ r = 2 sin ⁡ θ

Assim temos que a nossa região em Q é dada por:

0 ≤ r ≤ 2 sin ⁡ θ

Quanto a θ , nosso solido não tem nada que corte nosso cilindro e nosso cone transversalmente, ou seja eles tem meia circunferência completa, logo:

0 ≤ θ ≤ π

Passo 6

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ ∫ Q g r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

→ A = ∫ 0 π ∫ 0 2 sin ⁡ θ r r   d r d θ

→ A = ∫ 0 π ∫ 0 2 sin ⁡ θ r 2   d r d θ

Integramos a primeira vez:

A = ∫ 0 π r 3 3 0 2 sin ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π ( 2 sin ⁡ θ ) 3 3 - ( 0 ) 3 3 d θ

= ∫ 0 π 8 3 sin 3 ⁡ θ - 0 d θ

= 8 3 ∫ 0 π sin 3 ⁡ θ d θ

E integramos denovo:

A = 8 3 - cos ⁡ θ + cos 3 ⁡ θ 3 0 2 π

= 8 3 - cos ⁡ π + cos 3 ⁡ π 3 - - cos ⁡ 0 + cos 3 ⁡ 0 3

= 8 3 1 - 1 3 - - 1 + 1 3

= 32 / 9

E prontinho. 😊

Resposta

V = 32 / 9

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