Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 56

Prove que lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0 por dois métodos. (a) Seja x = 1 t e use o resultado do E xercício 55 nos Exercícios 7.3.(b) Primeiro prove que ∫ 1 x 1 t d t ≥ ∫ 1 x 1 t d t aplicando o teorema 5.6.8. Então use o teorema do sanduíche.

Passo 1

(a)No Exercício 55 nos Exercícios 7.3, provamos que lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x = 0 . Substituindo x   p o r 1 x , teremos que:

lim 1 x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 x x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 x x = lim x → + ∞ ⁡ - ln ⁡ x x = - lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x ⁡

Passo 2

Com isso, temos que:

lim 1 x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 x x = 0   e   lim 1 x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 x x = - lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x → lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0

Passo 3

(b) Vamos provar que   ∫ 1 x 1 t d t ≥ ∫ 1 x 1 t d t .

Para t ≥ 1 :

t ≥ 1 → ÷ t 1 t ≥ 1 t  

Seja f x = 1 t   e   g x = 1 t , pelo teorema 5.6.8, temos que, para x ≥ 1 :

∫ 1 x 1 t d t ≥ ∫ 1 x 1 t d t

Passo 4

Calculando a integral, temos que:

2 t x 1 ≥ ln ⁡ t x 1 → 2 x - 2 ≥ ln ⁡ x

Dividindo por x, temos que:

2 x x - 2 x ≥ ln ⁡ x x

Além disso, como x ≥ 1 , temos que:

ln ⁡ x x ≥ 0

Logo: 2 x x - 2 x ≥ ln ⁡ x x ≥ 0

Passo 5

Aplicando o teorema do Sanduíche, tomando f x = 2 x x - 2 x ,   g x = ln ⁡ x x   e   h x = 0 , vemos que:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 2 x = 0 lim x → + ∞ ⁡ 0 = 0

Logo, como f x ≥ g x ≥ h ( x ) , lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0 .

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido girando a região delimitada pelas curvas dadas sobre a linha especificada. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típico. y = x + 1 ,y = 0 , x = 0 , x = 2 ;
Encontre o volume do sólido obtido girando a região delimitada pelas curvas dadas sobre a linha especificada. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típico. x = 2 - y 2 , x = y 4 s o b r eoe
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos. y = x 3 , y = 1 ,x =
Encontre o volume do sólido obtido girando a região delimitada pelas curvas dadas sobre a linha especificada. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típico. y = e x ,y = 0 , x = - 1 , x = 1e
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos y = x - 1 ,x = 5 ,y = 0