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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 17

17. Deduza a fórmula para o volume de uma esfera, rotacionando a região limitada pela circunferência x 2 + y 2 = r 2 e pelo eixo x em torno do eixo x .

Passo 1

Vamos entender a região delimitada e depois usar a fórmula do volume aplicado pra esfera.

Passo 2

Vamos pegar a porção delimitada por x 2 + y 2 = r 2 no primeiro quadrante e girar em torno do eixo x , concorda que o volume da esfera será o dobro da figura que geramos com esse giro? Esse vai ser o raciocínio.

Agora vamos usar um elemento de volume, que será um disco circular dessa esfera centrado no eixo x , onde x vai de 0 até r . O raio do disco será dado ao isolarmos y da equação da circunferência, porque giramos em torno de x .

Raio do disco: r 2 - w i 2 , onde w i é uma porção infinitesimal que corresponde a x .

Passo 3

Pelo teorema 6.1.2 temos

V = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n π A ξ i ∆ i x = π ∫ a b A x d x

No nosso caso, vamos multiplicar por 2, como vimos antes e a área será π r 2 ...

V = 2 lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n π ( r 2 - w i 2 ) 2 ∆ i x = 2 π ∫ 0 r ( r 2 - x 2 ) 2 d x

V = 2 π ∫ 0 r ( r 2 - x 2 ) d x

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral:

2 π ∫ 0 r ( r 2 - x 2 ) d x = 2 π [ r 2 x - x 3 3 ] 0 r = 2 π r 3 - r 3 3 = 4 3 π r 3

Prontinho, esse é o volume

Resposta

V = 4 3 π r 3

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