Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo y

x = y^(3/2)

x = 0

y = 2

Passo 1

A curva que ele deu é:

x = y 3 2

Aqui estamos trabalhando com funções em y porque vamos rotacionar ao redor do eixo y .

Essa curva é mesmo estranha de ver com facilidade, mas ele disse que está limitada por y = 2 .

Como temos que fazer uma integral definida para o volume, precisamos ver qual o outro ponto que essa curva corta o eixo y , que é x = 0 . Porque é o que limita a região:

y 3 2 = 0

y = 0

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a azul.

Entao a região vai de y = 0 , que achamos ali emcima, até y = 2 . Onde o raio do disco vai ser a função verde, lembrando que estamos pegando uma função de y :

r y = y 3 2

O volume vai ser:

V = ∫ 0 2 π y 3 2 2 d y

V = ∫ 0 2 π y 3 d y

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 2 π y 3 d y

V = π ∫ 0 2 y 3 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ y 3 d y = y 4 4 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 2 y 3 d y = π y 4 4 0 2 =

π 2 4 4 - π 0 4 4 =

π 16 4 = 4 π

Resposta

4 π

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