Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 32

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo

Passo 1

A curva que ele deu é:

Aqui estamos trabalhando com funções em porque vamos rotacionar ao redor do eixo

Essa curva é mesmo estranha de ver com facilidade, mas ele disse que está limitada por .

Como temos que fazer uma integral definida para o volume, precisamos ver qual o outro ponto que essa curva corta o eixo , que é . Porque é o que limita a região:

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a azul.

Entao a região vai de , que achamos ali emcima, até . Onde o raio do disco vai ser a função verde, lembrando que estamos pegando uma função de :

O volume vai ser:

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

Resposta

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12. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = sin ⁡ x e pelas retas x = 0 , x = π e y = 2 em torno da reta y = 2 .

15. Volume de um orifício de uma esfera sólida Um orifício redondo de raio 3 pés é furado através do centro de uma esfera sólida de raio 2 pés. Determine o volume de material removido da esfera.

13. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva x = e y 2 e pelas retas y = 0 , x = 0 e y = 1 em torno do eixo x .

A região entre a curva y = 1 / x 2 e o eixo x de x = 1 / 2 a x = 2 é girada em torno do eixo y , gerando um sólido. Determine o volume do sólido.

No Exercício 6 da Seção 6.2, giramos em torno do eixo y a região entre a curva y = 9 x / x 3 + 9 e o eixo x de x = 0 a x = 3 para gerar um sólido de volume 36 π . Em vez disso, se girarmos a região em