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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 8a

8 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região "triangular" limitada pela curva y   = 4 x 3 e pelas retas x = 1 e y   = 1 2 em torno:

  1. Do eixo x
  2. Do eixo y
  3. Da reta x = 2
  4. Da reta y = 4

Passo 1

Observe a imagem abaixo:

Para calcular o volume usaremos o método do anel:

V =   ∫ a b π R x 2 - r x 2 d x

Os limites de integração pelo enunciado é a = 1   e   b = 2 .

Sendo:

R x = 4 x 3   e   r x = 1 2

Passo 2

Inserindo na integral, dado pela figura os limites de integração: a = 1   e   b = 2 .

V =   ∫ 1 2 π 4 x 3 2 - 1 2 2 d x

V = π ∫ 1 2 16 x 6 - 1 4 d x = π ∫ 1 2 16 ⋅ x - 6 - 1 4 d x

Resolvendo os limites de integração:

π 16 x - 5 - 5 - 1 4 x 1 2

Subsituindo com os limites:

π - 16 ⋅ 2 - 5 5 - 2 4 - - 16 ⋅ 1 - 5 5 - 1 4

π - 16 ⋅ 1 160 - 1 2 - - 16 ⋅ 1 5 - 1 4  

π - 16 160 - 1 2 + 16 5 + 1 4

π - 1 10 - 1 2 + 16 5 + 1 4

Resolvendo os colchetes:

π - 2 - 10 + 64 + 5 20 = π 57 20 = 57 π 20 u . v .

Resposta

57 π 20 u . v .

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