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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 38

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

Eixo y

Passo 1

As curvas que ele deu é:

x = tg ⁡ y

x = 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva preta e areta azul, ao redor do eixo y .

Essa região é aquela entre duas curvas, então temos que usar o método dos anéis. Qua basicamente é separar em dois volumes, o da curva preta e o da curva azul.

Vamos ter então que o volume vai ser:

V = V 1 - V 2

Onde

V 1 → c u r v a   a z u l

V 2 → c u r v a   p r e t a

Isso porque a curva azul está acima da preta.

Entao a região vai de y = 0 até y = π 4 . Onde os raios dos discos, que formam o anel, vão ser:

r 1 y = 1

r 2 y = tg ⁡ y

Cada volume vai ser:

V 1 = ∫ 0 π 4 π 1 2 d y

V 1 = ∫ 0 π 4 π d y

E

V 2 = ∫ 0 π 4 π tg ⁡ y 2 d y

V 2 = ∫ 0 π 4 π tg 2 ⁡ y d y

Com:

V = V 1 - V 2

Passo 2

Vamos achar V 1 :

V 1 = ∫ 0 π 4 π d y

V 1 = π ∫ 0 π 4 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ d y = y + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V 1 = π ∫ 0 π 4 d y = π y 0 π 4 =

π π 4 - π 0 =

V 1 = π 2 4

Passo 4

Vamos achar V 2 :

V 2 = ∫ 0 π 4 π tg 2 ⁡ y d y

V 2 = π ∫ 0 π 4 tg 2 ⁡ y d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ tg 2 ⁡ y d y

Vamos usar:

sec 2 ⁡ y = 1 + tg 2 ⁡ y

tg 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y - 1

A nossa integral vai ficar:

∫ sec 2 ⁡ y - 1 d y = ∫ sec 2 ⁡ y d y - ∫ d y = tg ⁡ y - y + C

Passo 5

Voltando para a nossa integral definida:

V 2 = π ∫ 0 π 4 tg 2 ⁡ y d y = π tg ⁡ y - y 0 π 4 =

π tg ⁡ π 4 - π 4 - π tg ⁡ 0 - 0 =

π 1 - π 4 - π 0 =

V 2 = π - π 2 4

Passo 6

Agora vamos para o V

V = V 1 - V 2

V = π 2 4 - π - π 2 4

V = π 2 4 - π + π 2 4

V = π 2 2 - π

Resposta

π 2 2 - π

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A base de um sólido é a região limitada pela parábola y 2 = 8 x e a reta x = 8 . Ache o volume do sólido, se toda secção plana perpendicular ao eixo da base for um quadrado.
Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = 1 - 3 x , pelo eixo x e pela reta x = 1 gira em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = 1 + 2 x , pelo eixo x , e pelas retas x = 1 e x = 4 , gira em torno do eixo x .
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.Eixo x
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x A região, no primeiro quadrante, limitada acima pela reta y = 2 . Abaixo pela curva y