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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 37

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

Eixo x

Passo 1

As curvas que ele deu são:

y = cos ⁡ x

y = 1

Ele já nos deu o esboço:

A região é entre a curva preta e areta azul, ao redor do eixo x .

Essa região é aquela entre duas curvas, então temos que usar o método dos anéis. Qua basicamente é separar em dois volumes, o da curva preta e o da curva azul.

Vamos ter então que o volume vai ser:

V = V 1 - V 2

Onde

V 1 → c u r v a   a z u l

V 2 → c u r v a   p r e t a

Isso porque a curva azul está acima da preta.

Entao a região vai de x = - π 2 até x = π 2 . Onde os raios dos discos, que formam o anel, vão ser:

r 1 x = 1

r 2 x = cos ⁡ x

Cada volume vai ser:

V 1 = ∫ - π 2 π 2 π 1 2 d x

V 1 = ∫ - π 2 π 2 π d x

E

V 2 = ∫ - π 2 π 2 π cos ⁡ x 2 d x

Como no intervalo de integral o cosseno é positivo, vamos ter:

cos ⁡ x 2 = cos ⁡ x

Entao o volume 2 fica:

V 2 = ∫ - π 2 π 2 π cos ⁡ x d x

Com:

V = V 1 - V 2

Passo 2

Vamos achar V 1 :

V 1 = ∫ - π 2 π 2 π d x

V 1 = π ∫ - π 2 π 2 π d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ d x = x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V 1 = π ∫ - π 2 π 2 π d x = π x - π 2 π 2 =

π π 2 - π - π 2 =

π 2 2 - - π 2 2 =

π 2 2 + π 2 2 =

V 1 = π 2

Passo 4

Vamos achar V 2 :

V 2 = ∫ - π 2 π 2 π cos ⁡ x d x

V 2 = π ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Passo 5

Voltando para a nossa integral definida:

V 2 = π ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ x d x = π sen ⁡ x - π 2 π 2 =

π sen ⁡ π 2 - π sen ⁡ - π 2 =

π 1 - π - 1 =

π + π =

V 2 = 2 π

Passo 6

Agora vamos para o V

V = V 1 - V 2

V = π 2 - 2 π

Resposta

π 2 - 2 π

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