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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 30

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

A região, no primeiro quadrante, limitada acima pela reta y = 2 . Abaixo pela curva y = 2 sen ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π 2 e à esquerda pelo eixo y , em torno da reta y = 2

Passo 1

A curva que ele deu é:

y = sen ⁡ x

Junto com a reta:

y = 2

Vamos fazer o esboço limitando com os valores de x e y que ele deu. Olha como é o esboço:

A região é entre a curva verde e a vermelha, limitada inicialmente pela laranja e no final pela azul.

Entao a região vai de x = 0 até x = π 2 .

Agora temos que ficar atentos ao raio de rotação. Ele vai ser a distância da curva verde até o eixo de rotação, que é y = 2 , assim vamos ter:

r x = 2 - sen ⁡ x

Porque é o valor de y do eixo de rotação menos a função para ter a distância.

O volume vai ser:

V = ∫ 0 π 2 π 2 - sen ⁡ x 2 d x

V = ∫ 0 π 2 π 4 - 4 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 π 2 π 4 - 4 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x d x

V = π ∫ 0 π 2 4 - 4 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 4 - 4 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x d x

Usando as propriedades de integrais:

∫ 4 - 4 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x d x = ∫ 4 d x - ∫ 4 sen ⁡ x d x + ∫ sen 2 ⁡ x d x =

4 x - 4 - cos ⁡ x + ∫ sen 2 ⁡ x d x

Para a segunda equação, temos uqe lembrar que:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Assim a nossa integral fica:

4 x + 4 cos ⁡ x + ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x = 4 x + 4 cos ⁡ x + ∫ 1 2 - cos ⁡ 2 x 2 d x =

4 x + 4 cos ⁡ x + 1 2 - sen ⁡ 2 x 2.2 + C = 4 x + 4 cos ⁡ x + 1 2 x - sen ⁡ 2 x 4 + C =

9 2 x + 4 cos ⁡ x - sen ⁡ 2 x 4 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 π 2 4 - 4 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x d x = π 9 2 x + 4 cos ⁡ x - sen ⁡ 2 x 4 0 π 2 =

π 9 2 π 2 + 4 cos ⁡ π 2 - sen ⁡ 2 π 2 4 - π 9 2 0 + 4 cos ⁡ 0 - sen ⁡ 0 4 =

π 9 π 4 - π 4 =

9 π 2 4 - 4 π

Resposta

9 π 2 4 - 4 π

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