Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 59

Devido a várias restrições, o tamanho de determinada comunidade está limitado a 3.000 habitantes e a taxa de crescimento da população é diretamente proporcional ao produto de seu tamanho com diferença entre 3.000 e o seu tamanho. Determine o tamanho da população para o qual a sua taxa de crescimento é máxima.

Passo 1

Vamos começar chamando de o tamanho da comunidade. A questão disse que a taxa é diretamente proporcional ao produto de seu tamanho com a diferença de 3000 e seu tamanho . Temos então,

Como é taxa de crescimento, e , é uma constante de proporcionalidade.

Passo 2

Para achar o máximo de nós derivamos e igualamos a , mas já podemos perceber que, em termos de gráfico, teríamos uma parábola com concavidade para baixo, o que gera um máximo absoluto.

Para , .

Logo, o tamanho da população para o qual a sua taxa de crescimento é máxima é 1500.

Resposta

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