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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 46

46. Prove, usando o método desta Secção, que a menor distância de um ponto P 1 x 1 , y 1 a uma reta l com equação A x + B y + C = 0 é A x 1 + B y 1 + C / A 2 + B 2 . (Sugestão: se s for o número de unidades na distância de P 1 ao ponto P ( x , y ) sobre l , então s será um mínimo absoluto quando s 2 for um mínimo absoluto)

Passo 1

Precisamos achar o mínimo da distância e provar que é igual à expressão dada.

Passo 2

Vamos chamar de f a distância do ponto ( x , y ) até a reta A x + B y + C = 0 , derivando essa reta em relação a x , temos:

A + B y ' + C = 0

y ' = - A / B

Então, f x = ( x - x 1 ) 2 + ( y - y 1 ) 2

Passo 3

Derivando f ( x ) e igualando a zero:

f ' x = 2 x - x 1 + 2 y - y 1 - A B

f x = 0 quando y - y 1 = ( B / A ) ( x - x 1 ) , foi?

Passo 4

Reescrevendo a equação da reta como

A x - x 1 + B y - y 1 = - A x 1 + B y 1 + C = - d

Substituindo y - y 1 = ( B / A ) ( x - x 1 ) :

A x - x 1 + B 2 A x - x 1 = - d

x - x 1 = A d A 2 + B 2

Então, y - y 1 = B d A 2 + B 2

Passo 5

Escrevendo f , temos:

f = ( A 2 + B 2 ) d 2 ( A 2 + B 2 ) 2 = d 2 A 2 + B 2

A distância mínima a raiz disso:

| d | A 2 + B 2 = | A x 1 + B y 1 + C | A 2 + B 2

Passo 6

Para confirmar, f ' ' x = 2 + 2 - A B - A B = 2 + 2 A 2 B 2 > 0

Então isso confirma que o ponto que achamos é um mínimo local e absoluto =]

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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