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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 67

Uma fábrica sob competição perfeita (veja as intruções dos Exercícios 29 e 30 nos Exercícios 4.8) fabrica e vende rádios portáteis. A fábrica pode vender a um preço de $ 75 por rádio. Se x rádios forem fabricados a cada dia e C ( x ) for o custo total da produção diária, então C x = x 2 + 25 x + 100 . Quantos rádios devem ser fabricados a cada dia para que a fabrica obtenha um lucro total diário máximo? Qual será este lucro total diário máximo.

Passo 1

Pessoal, o lucro total é dado pela receita total menos o custo, certo? Então teremos as seguintes funções:

R x = 75 x                       C x = x 2 + 25 x + 100

Logo, L x = 75 x - x 2 - 25 x - 100 = - x 2 + 50 x - 100

L x = - x 2 + 50 x - 100

Temos o lucro total em função da quantidade produzida.

Passo 2

Para achar o lucro máximo, basta derivar e igualar a 0 para verificar os pontos críticos.

L ' x = - 2 x + 5 0 = 0       →       2 x = 50     →         x = 25

Como L é uma função do segundo grau com coeficiente negativo no termo de grau 2, sabemos que isso gera uma parábola com concavidade para baixo e consequentemente teremos um máximo absoluto que, no nosso caso, é o L ( 25 ) .

Portanto, devem ser fabricados 25 rádios por dia e o lucro total diário máximo é L 25 = - 625 + 1250 - 100 = $ 525 .

Resposta

25 rádios; $525

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