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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 23

Diferencie a função dada

F(x) = x^(x^(e^x)) ; x > 0

Passo 1

Vamos relembrar algumas Propriedades de Derivadas

(d)/(d x) (f o g (a x)) = f^' (g (a x)) . g^' (a x) . a ; Sendo “a” uma constante.

(d)/(d x) x^n = n x^(n - 1)

(d)/(d x) a^(f ( x )) = l n a . a^(f ( x )) . (d)/(d x) f ( x )

(d)/(d x) (f ( x ) . g ( x )) = f^' g + g^' f [ R e g r a d a C a d e i a ]

Propriedade do Expoente

a^b = e^(b ln (a))

Passo 2

Toda vez que tivermos uma função com expoente x, precisamos transformar a base no numero de Euler (e). Então temos:

x^((x^((e^x)))) = e^(x^(e^x) ln (x))

(d)/(d x) x^((x^((e^x)))) = (d)/(d x) e^(x^(e^x) ln (x))

Vamos Fazer uma substituição agora para ficar mais fácil, e depois Usar Regra da Cadeia

U = x^(e^x) ln (x)

Agora temos e^u e Sabendo que :

(d)/(d x) e^x = e^x . x '

Podemos agora continuar nossa derivação :

(d)/(d x) e^(x^(e^x) ln (x)) = e^(x^(e^x) ln (x)) . (d)/(d x) x^(e^x) ln (x)

= x^((x^((e^x)))) . (d)/(d x) x^(e^x) ln (x)

Passo 3

Usando regra da cadeia novamente

(d)/(d x) x^(e^x) ln (x) = (1)/(x) x^(e^x) + l n x (d)/(d x) x^(e^x)

Repetindo a propriedade do expoente

x^(e^x) = e^(e^x ln (x))

Então (d)/(d x) x^(e^x) = (d)/(d x) e^(e^x ln (x))

= e^(e^x ln (x)) . (l n x . e^x + (e^x)/(x))

= x^(e^x) . e^x ( ln x + (1)/(x) )

Logo

(d)/(d x) x^(x^(e^x)) = x^((x^((e^x)))) . ((1)/(x) x^(e^x) + l n x ( x^(e^x) . e^x ( ln x + (1)/(x) ) ))

Unindo Os expoentes de mesma base.

Resposta

(d)/(d x) x^(x^(e^x)) = x^((x^((e^x)))) . (x^(e^x - 1) + l n x ( x^(e^x) . e^x ( ln x + (1)/(x) ) ))

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