Diferencie a função dada

F(x) = raiz(log((1+x)/(1-x)))

Passo 1

Vamos relembrar algumas propriedades de derivadas

d d x   f   o   g a x = f ' g a x .   g ' a x .   a   ;   Sendo “a” uma constante.

d d x   x n = n   x n - 1  

d d x   a f ( x ) = l n a   .   a f ( x ) .   d d x f ( x )  

Passo 2

Para resolver este problema o jeito mais fácil é por substituição , vamos considerar que

u   =   log ⁡ 1 + x 1 - x   .

  L o g o   d d u   u = 1 2 u   .   u '

d d x   log 10 ⁡ 1 + x 1 - x   = d d u u d d x u

= 1 2 log ⁡ 1 + x 1 - x   .   d d x log 10 ⁡ 1 + x 1 - x

Uma parte do problema está pronto, precisamos agora só Calcular d d x log 10 ⁡ 1 + x 1 - x

Lembrando que log 10 ⁡ 1 + x 1 - x = l o g 1 + x - l o g 1 - x

Logo

d d x log 10 ⁡ 1 + x 1 - x   =   d d x   l o g 1 + x - l o g 1 - x

= 1 l n 10   . d d x ( ln ⁡ 1 + x - l o g 1 - x )

= 1 l n 10 1 1 + x -   - 1 1 - x

= 1 l n 10   .   1 - x + 1 + x 1 + x 1 - x

= 1 l n 10   .   2 1 + x 1 - x  

Agora que resolvemos o problema, precisamos só juntar as respostas.

d d x log ⁡ 1 + x 1 - x     =   1 2 log ⁡ 1 + x 1 - x   .     1 l n 10   .   2 1 + x 1 - x

Resposta

d d x   log ⁡ 1 + x 1 - x     = 1 1 + x 1 - x l n 10 log ⁡ 1 + x 1 - x    

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