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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 19

Diferencie a função dada

F(x) = sqrt(log (1 + x)/(1 - x))

Passo 1

Vamos relembrar algumas propriedades de derivadas

(d)/(d x) (f o g (a x)) = f^' (g (a x)) . g^' (a x) . a ; Sendo “a” uma constante.

(d)/(d x) x^n = n x^(n - 1)

(d)/(d x) a^(f ( x )) = l n a . a^(f ( x )) . (d)/(d x) f ( x )

Passo 2

Para resolver este problema o jeito mais fácil é por substituição , vamos considerar que

u = log (1 + x)/(1 - x) .

L o g o (d)/(d u) sqrt(u) = (1)/(2 sqrt(u)) . u '

(d)/(d x) sqrt(log_10 (1 + x)/(1 - x)) = (d)/(d u) (sqrt(u)) (d)/(d x) u

= (1)/(2 sqrt(log (1 + x)/(1 - x))) . (d)/(d x) (log_10 ((1 + x)/(1 - x)))

Uma parte do problema está pronto, precisamos agora só Calcular (d)/(d x) (log_10 ((1 + x)/(1 - x)))

Lembrando que log_10 ((1 + x)/(1 - x)) = l o g (1 + x) - l o g (1 - x)

Logo

(d)/(d x) (log_10 ((1 + x)/(1 - x))) = (d)/(d x) (l o g (1 + x) - l o g (1 - x))

= (1)/(l n 10) . (d)/(d x) ( ln (1 + x) - l o g (1 - x) )

= (1)/(l n 10) ((1)/(1 + x) - (- 1)/(1 - x))

= (1)/(l n 10) . ((1 - x) + (1 + x))/((1 + x) (1 - x))

= (1)/(l n 10) . (2)/((1 + x) (1 - x))

Agora que resolvemos o problema, precisamos só juntar as respostas.

(d)/(d x) (sqrt(log (1 + x)/(1 - x))) = (1)/(2 sqrt(log (1 + x)/(1 - x))) . (1)/(l n 10) . (2)/((1 + x) (1 - x))

Resposta

(d)/(d x) (sqrt(log (1 + x)/(1 - x))) = (1)/((1 + x) (1 - x) l n 10 sqrt(log (1 + x)/(1 - x)))

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