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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 44

O discriminante f x x f y y - f x y   2 é zero na origem para cada uma das funções a seguir, de modo que o teste da derivada de segunda ordem falha. Determine se a função tem um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois na origem, imaginando como é a superficie z = f ( x , y ) . Descreva seu raciocinio em cada caso.a. f ( x , y ) = x 2 y 2 b. f ( x , y ) = 1 - x 2 y 2 c. f ( x , y ) = x y 2 d. f ( x , y ) = x 3 y 2 e. f ( x , y ) = x 3 y 3 f. f ( x , y ) = x 4 y 4

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Como vimos nos estudo do capítulo, o discriminante f x x f y y - f x y   2 vale zero para cada uma das funções abaixo, logo o teste da segunda derivada falha para essas funções. Diante disso, precisamos determinaremos se essas funções possuem um máximo, mínimo, ou nenhum deles, imaginando qual a superficie z = f ( x , y ) se parece. Explicaremos o motivo para cada caso.a. f ( x , y ) = x 2 y 2 ,b. f ( x , y ) = 1 - x 2 y 2 ,c. f ( x , y ) = x y 2 ,d. f ( x , y ) = x 3 y 2 e. f ( x , y ) = x 3 y 3 e f. f ( x , y ) = x 4 y 4

Passo 2

a) Nesse caso, temos um mínimo em ( 0,0 ) , pois f ( x , y ) > 0 para qualquer outro ( x , y ) .

Passo 3

b) Aqui, temos um máximo 1 em ( 0,0 ) pois f ( x , y ) < 1 para qualquer outro ( x , y ) .

Passo 4

c) Para esse caso, não temos nenhum ponto de mínimo ou máximo pois f ( x , y ) < 0 para x < 0 e f ( x , y ) > 0 para x > 0 .

Passo 5

d) Veja que aqui não temos nenhum ponto de mínimo ou máximo, pois f ( x , y ) < 0 para x < 0 e f ( x , y ) > 0 para x > 0 .

Passo 6

e) Agora, observe que não temos nenhum ponto de mínimo ou máximo, pois f ( x , y ) < 0 para x < 0 e y > 0 , mas f ( x , y ) > 0 para x > 0 e y > 0 .

Passo 7

f) Por fim, veja que temos um ponto mínimo em ( 0,0 ) , pois f ( x , y ) > 0 para qualquer outro ( x , y ) .

Resposta

Resposta nos passos.

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