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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 49

Dentre todos os pontos no gráfico de z = 10 – x2 – y2 que estão

acima do plano x + 2y + 3z = 0, encontre o ponto mais distante

no plano.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos resolver este exercício? Para isso, precisamos verificar, dentre todos os pontos no gráfico z = 10 - x 2 - y 2 que se encontram acima do plano x + 2 y + 3 z = 0 , qual o mais distante. Vamos lá?

Passo 2

Neste exercício, queremos o ponto em z = 10 - x 2 - y 2 em que o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 0 . Para encontrarmos o vetor normal a z = 10 - x 2 - y 2 , seja w = z + x 2 + y 2 - 10 . Veja que seu gradiente valerá então:

∇ w = 2 x i + 2 y j + k

Sendo esse o vetor normal a z = 10 - x 2 - y 2 no ponto ( x , y ) .Observe que o vetor ∇ w é paralelo a i + 2 j + 3 k e será normal ao plano x + 2 y + 3 z = 0 se 6 x i + 6 y j + 3 k = i + 2 j + 3 k Temos então que

x = 1 6 y = 1 3

Substituimos os valores encontrados em z = 10 - x 2 - y 2 e encontramos z = 355 36 .Concluímos assim que o ponto mais distante é 1 6 , 1 3 , 355 36 .

Resposta

Resposta nos passos.

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