Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 4

Determine o ponto da parábola y = x^2 mais próximo de ( 14 , 1 )

Passo 1

Perceba que precisamos encontrar o valor máximo da função f (x , y) = (x - 14)^2 + (y - 1)^2 .Desejamos achar o ponto que esteja na parábola. Então, podemos usar multiplicador de Lagrange, com esta restrição. Vamos chama-la de g (x , y) = y - x^2

Vamos relembrar como funciona o multiplicador de laringe

{[[grad f (x , y) = lambda grad g (x , y)],[g (x , y) = 0]])

Passo 2

Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!

(del f)/(del x) (x , y) = 2 (x - 14)

(del f)/(del y) (x , y) = 2 ( y - 1 )

Logo,

grad f (x , y) = (2 (x - 14) , 2 ( y - 1 ))

Vamos agora para a função g .

(del g)/(del x) (x , y) = - 2 x

(del g)/(del y) (x , y) = 1

Logo,

grad g (x , y) = (1 , - 2 x)

Passo 3

Substituindo os dados no sistema

{[[2 (x - 14) = - 2 lambda x],[2 (y - 1) = lambda],[y = x^2]])

Temos que,

2 (x - 14) = - 2 lambda x ⟹

x - 14 = - lambda x

Daí,

2 (y - 1) = lambda ⟹

2 (x^2 - 1) = lambda

Sendo assim,

x - 14 = - lambda x ⟹

x - 14 = - (2 x^2 - 2) x

x - 14 = - (2 x^2 - 2) x ⟹

x - 14 = - 2 x^3 + 2 x ⟹

- 2 x^3 + x + 14 = 0

x = 2 é a única raiz. Substituindo,

y = 4

Resposta

(2,4)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a superfície de nível da função f x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 que seja tangente ao plano x + 2 y + 3 z = 4 . Qual o ponto de tangência?
Deseja-se construir um paralelepípedo-retângulo com área total de 100 c m 2 . Determirar as dimensões da caixa para o volume ser máximo.
Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja 36 e cujo produto seja máximo.
Determine o ponto da superfície x y z = 1 , x , y0 que se encontra mais perto da origem.
Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.Sugestão: Utilize a fórmula A = p p - a p - b p - c que fornece a área do triângulo em função dos lados a , b e c e do semiperímetro