Discuta se os limites de p x = 1 - x n quando x → + ∞ e x → - ∞ para valores inteiros positivos de n .

Passo 1

Então galera, aqui o que devemos fazer é apenas resolver os limites quando x → + ∞ e x → - ∞ para valores inteiros positivos de n . Para o primeiro caso, temos:

lim x → + ∞ ⁡ p x = lim x → + ∞ ⁡ 1 - x n

Como n é sempre positivo, não precisamos nos preocupar com expoentes negativos. Para valores de n ímpares, temos que:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - x n = - ∞

Para valores de n pares, temos que:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - x n = + ∞

Passo 2

Para o segundo caso agora, temos o seguinte:

lim x → - ∞ ⁡ p x = lim x → - ∞ ⁡ 1 - x n

Se aplicarmos o limite na nossa função sempre teremos um valor positivo, uma vez que:

1 - - ∞ = + ∞

Dessa forma, diferentemente do caso anterior, não nos importa se o expoente é ímpar ou par, o resultado sempre será positivo. Dessa forma:

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x n = + ∞

E essa é a nossa análise!

Resposta

Expoentes ímpares: lim x → + ∞ ⁡ 1 - x n = - ∞

Expoentes pares: lim x → + ∞ ⁡ 1 - x n = + ∞

Para qualquer expoente: lim x → - ∞ ⁡ 1 - x n = + ∞

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39- Prove que f x = x 3 5 é contínua em toda parte, justificando cuidadosamente cada passo.