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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 52

52. Encontre:

lim x → + ∞ ⁡ c 0 + c 1 x + … + c n x n d 0 + d 1 x + … + d m x m

Onde c n ≠ 0 e d m ≠ 0 . Sugestão: a respostas dependerá dos casos m < n ,   m = n   e   m > n .

Passo 1

Então galera, a estratégia para resolvermos um limite no infinito é dividirmos todos os membros da função pela função de maior grau que está no denominador. No nosso caso, a função que possui maior grau no denominador é x m , certo? Então se dividirmos tudo, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ c 0 x m + c 1 x x m + … + c n x n x m d 0 x m + d 1 x x m + … + d m x m x m

Simplificando, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ c 0 x m + c 1 x 1 - m + … + c n x n - m d 0 x m + d 1 x 1 - m + … + d m

Ok, a primeira parte da nossa resolução está feita!

Passo 2

Assim como sugerido pelo enunciado, usaremos os casos m < n ,   m = n   e   m > n para fazer a análise da nossa resposta, tudo bem? Para m < n temos que o termo n - m será maior do que zero, ou seja, um expoente positivo. Dessa forma, nosso limite será:

lim x → + ∞ ⁡ c 0 x m + c 1 x 1 - m + … + c n x n - m d 0 x m + d 1 x 1 - m + … + d m = 0 + 0 ± ∞ 0 + 0 + d m = ± ∞

Se c n . d m > 0 , então o resultado é + ∞ . Se c n . d m < 0 , então o resultado é - ∞ . Para m > n temos que o termo n - m será menor do que zero, ou seja, um expoente negativo. Dessa forma, nosso limite será:

lim x → + ∞ ⁡ c 0 x m + c 1 x 1 - m + … + c n x n - m d 0 x m + d 1 x 1 - m + … + d m = 0 + 0 + 0 0 + 0 + d m = 0

Por fim, para m = n temos que o termo n - m = 0 , ou seja:

lim x → + ∞ ⁡ c 0 x m + c 1 x 1 - m + … + c n . 1 d 0 x m + d 1 x 1 - m + … + d m = 0 + 0 + c n 0 + 0 + d m = c n d m

E esses são nosso resultados para cada caso, pessoal!

Resposta

Para m < n o limite será: ± ∞ ;

Para m > n o limite será: 0 ;

Para m = n o limite será: c n d m .-

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