Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 83
Discuta as vantagens ou desvantagens relativas da utilização do teste da derivada primeira ou do da derivada segunda na classificação de candidatos para extremos relativos no interior do domínio de uma função. Inclua exemplos específicos para ilustrar seus argumentos.
Passo 1
Vamos lá, temos que o Teste da Derivada Primeira nos diz que:
Se em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de e em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então tem um máximo relativo em .
Se em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de e em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então tem um mínimo relativo em .
E se tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então não tem extremo relativo em .
O Teste da Derivada Primeira se aplica em muitos casos em que o Teste da Derivada Segunda não se aplica.
Por exemplo, ele implica que tem um mínimo relativo em , mas o Teste da Derivada Segunda não nos fala isso, pois não é diferenciável nesse ponto.
Passo 2
Vamos analisar o Teste da Derivada Segunda:
Se e , então tem um mínimo relativo em .
Se e , então tem um máximo relativo em .
Se e , então o teste é inconclusivo, isto é, pode ter um máximo ou mínimo relativo em ou nenhum dos dois.
O Teste da Derivada Segunda é geralmente mais fácil de aplicar, pois precisamos calcular apenas e , em vez de analisar em valores de próximos de .
Por exemplo, seja a função:
Temos que:
Como e , segundo o Teste da Derivada Segunda tem um máximo relativo em . Para provar isso usando o Teste da Derivada Primeira é um pouco mais difícil, pois precisamos determinar o sinal de para próximo mas não igual a .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)