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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.4 - Ex. 35

Distância média entre o interior do disco e o centro: Encontre a distância média entre um ponto P(x, y) no disco x 2   +   y 2   ≤   a 2 e a origem.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que a distancia de qualquer ao centro é do tipo:

Se calcularmos a hipotenusa, temos:

h x , y = x 2 + y 2

assim, estando o ponto médio no interior de um disco, é dado por:

m = 1 A ∬ D h ( x , y 0   d x   d y

Sendo a área de um disco dada por A = π a 2 , temos:

m = 1 π a 2 ∬ D x 2 + y 2   d x   d y

Para facilitar, podemos passar para coordenadas, dado que num disco simples do tipo:

Temos que 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2 π

Lembrando que x 2 + y 2 = r 2 → r = x 2 + y 2

Temos, então:

m = 1 π a 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a r   r   d r   d θ

Passo 2

m = 1 π a 2 ∫ 0 2 π 1 3 r 3 0 a d θ

1 3 π a 2 ∫ 0 2 π a 3 d θ

Passo 3

a 3 π θ 0 2 π  

2 3 a

Resposta

Temos então que:

m = 2 3 a

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